Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0o1gt2ALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o1gt2ALTV 40143
 Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o1gt2ALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2ALTV
StepHypRef Expression
1 elnn0 11171 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnn1uz2 11641 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
3 orc 399 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
43a1d 25 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5 2z 11286 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
65eluz1i 11571 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
7 2re 10967 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9 zre 11258 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
108, 9leloed 10059 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
11 olc 398 . . . . . . . . . . 11 (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
1211a1d 25 . . . . . . . . . 10 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
13 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
1413eqcoms 2618 . . . . . . . . . . 11 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
15 2noddALTV 40142 . . . . . . . . . . . 12 2 ∉ Odd
16 df-nel 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∉ Odd ↔ ¬ 2 ∈ Odd )
17 pm2.21 119 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∈ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
1816, 17sylbi 206 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∉ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
2014, 19syl6bi 242 . . . . . . . . . 10 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
2112, 20jaoi 393 . . . . . . . . 9 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
2210, 21syl6bi 242 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
2322imp 444 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
246, 23sylbi 206 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
254, 24jaoi 393 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
262, 25sylbi 206 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
27 eleq1 2676 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
28 0noddALTV 40138 . . . . . 6 0 ∉ Odd
29 df-nel 2783 . . . . . . 7 (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
30 pm2.21 119 . . . . . . 7 (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3129, 30sylbi 206 . . . . . 6 (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3228, 31ax-mp 5 . . . . 5 (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3327, 32syl6bi 242 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3426, 33jaoi 393 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
351, 34sylbi 206 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3635imp 444 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   Odd codd 40076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-even 40077  df-odd 40078 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator