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Theorem nn01to3 11657
Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn01to3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Proof of Theorem nn01to3
StepHypRef Expression
1 3mix3 1225 . . 3 (𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
21a1d 25 . 2 (𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
3 nn0re 11178 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
433ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 3re 10971 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 3 ∈ ℝ)
7 simp3 1056 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ≤ 3)
84, 6, 7leltned 10069 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 ↔ 3 ≠ 𝑁))
9 nesym 2838 . . . . . . . 8 (3 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 = 3)
108, 9syl6rbb 276 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 ↔ 𝑁 < 3))
11 elnnnn0c 11215 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
12 orc 399 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
1312a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
1413a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
15 eluz2b3 11638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
16 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
17 2a1 28 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
18 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
19 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁)
21 leltne 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁𝑁 ≠ 2))
2218, 19, 20, 21syl3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁𝑁 ≠ 2))
23 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
25 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
26 df-3 10957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 = (2 + 1)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → 3 = (2 + 1))
2827breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 < (2 + 1)))
2928biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 < (2 + 1))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (2 + 1))
31 btwnnz 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝑁𝑁 < (2 + 1)) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3224, 25, 30, 31syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3332pm2.21d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))
3433exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))))
3534com24 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))))
3635pm2.43i 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
37363ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
3822, 37sylbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 2 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
3938com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ≠ 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
4017, 39pm2.61ine 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
4116, 40sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
4241imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 = 2)
4342olcd 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 < 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
4443ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
4515, 44sylbir 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
4645expcom 450 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
4714, 46pm2.61ine 2865 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
4811, 47sylbir 224 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
49483adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
5010, 49sylbid 229 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
5150impcom 445 . . . . 5 ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
5251orcd 406 . . . 4 ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3)) → ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
53 df-3or 1032 . . . 4 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
5452, 53sylibr 223 . . 3 ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
5554ex 449 . 2 𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
562, 55pm2.61i 175 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3o 1030  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564
This theorem is referenced by:  hash1to3  13128
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