MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmtri 22240
Description: The triangle inequality for the norm of a sum. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmtri.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmtri ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem nmtri
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 22213 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
213ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simp3 1056 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
4 nmf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2610 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
64, 5grpinvcl 17290 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
72, 3, 6syl2anc 691 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
8 nmf.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
9 eqid 2610 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
104, 8, 9nmmtri 22236 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)((invg𝐺)‘𝐵))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘((invg𝐺)‘𝐵))))
117, 10syld3an3 1363 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)((invg𝐺)‘𝐵))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘((invg𝐺)‘𝐵))))
12 nmtri.p . . . 4 + = (+g𝐺)
13 simp2 1055 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
144, 12, 9, 5, 2, 13, 3grpsubinv 17311 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝐺)((invg𝐺)‘𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
1514fveq2d 6107 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)((invg𝐺)‘𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)))
164, 8, 5nminv 22235 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁‘((invg𝐺)‘𝐵)) = (𝑁𝐵))
17163adant2 1073 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((invg𝐺)‘𝐵)) = (𝑁𝐵))
1817oveq2d 6565 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) + (𝑁‘((invg𝐺)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))
1911, 15, 183brtr3d 4614 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549   + caddc 9818  cle 9954  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198
This theorem is referenced by:  nmtri2  22241  tngngp3  22270  nmotri  22353
  Copyright terms: Public domain W3C validator