Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmosetn0 27004
 Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 26984 is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetn0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmosetn0.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nmosetn0.4 𝑀 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nmosetn0 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)))})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmosetn0
StepHypRef Expression
1 nmosetn0.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmosetn0.5 . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 26873 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
4 nmosetn0.4 . . . . . 6 𝑀 = (normCV𝑈)
52, 4nvz0 26907 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀𝑍) = 0)
6 0le1 10430 . . . . 5 0 ≤ 1
75, 6syl6eqbr 4622 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀𝑍) ≤ 1)
8 eqid 2610 . . . 4 (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍))
97, 8jctir 559 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑀𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍))))
10 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑍 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑍))
1110breq1d 4593 . . . . 5 (𝑦 = 𝑍 → ((𝑀𝑦) ≤ 1 ↔ (𝑀𝑍) ≤ 1))
12 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑍 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝑍))
1312fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑍 → (𝑁‘(𝑇𝑦)) = (𝑁‘(𝑇𝑍)))
1413eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑦 = 𝑍 → ((𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍))))
1511, 14anbi12d 743 . . . 4 (𝑦 = 𝑍 → (((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝑀𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍)))))
1615rspcev 3282 . . 3 ((𝑍𝑋 ∧ ((𝑀𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍)))) → ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
173, 9, 16syl2anc 691 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
18 fvex 6113 . . 3 (𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ V
19 eqeq1 2614 . . . . 5 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑍)) → (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
2019anbi2d 736 . . . 4 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑍)) → (((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦)))))
2120rexbidv 3034 . . 3 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑍)) → (∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦)))))
2218, 21elab 3319 . 2 ((𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
2317, 22sylibr 223 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825  0veccn0v 26827  normCVcnmcv 26829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839 This theorem is referenced by:  nmooge0  27006  nmorepnf  27007
 Copyright terms: Public domain W3C validator