Theorem nmopnegi 28208

Description: Value of the norm of the negative of a Hilbert space operator. Unlike nmophmi 28274, the operator does not have to be bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopneg.1	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
nmopnegi	⊢ (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = (normop‘𝑇)

Proof of Theorem nmopnegi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11001	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nmopneg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		homval 27984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑦) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((-1 ·op 𝑇)‘𝑦) = (-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦)))
5	4	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))))
6	2	ffvelrni 6266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
7		normneg 27385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝑇‘𝑦))) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
9	5, 8	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
10	9	eqeq2d 2620	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)) ↔ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
11	10	anbi2d 736	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))))
12	11	rexbiia 3022	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
13	12	abbii 2726	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}
14	13	supeq1i 8236	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < )
15		homulcl 28002	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
16	1, 2, 15	mp2an 704	. . 3 ⊢ (-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
17		nmopval 28099	. . 3 ⊢ ((-1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((-1 ·op 𝑇)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
19		nmopval 28099	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
20	2, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < )
21	14, 18, 20	3eqtr4i 2642	1 ⊢ (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = (normop‘𝑇)

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  1c1 9816  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  -cneg 10146   ℋchil 27160   ·_ℎ csm 27162  norm_ℎcno 27164   ·_op chot 27180  norm_opcnop 27186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his3 27325  ax-his4 27326

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-hnorm 27209  df-hvsub 27212  df-homul 27974  df-nmop 28082

This theorem is referenced by:  nmoptri2i  28342