Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmolb 22331
 Description: Any upper bound on the values of a linear operator translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmolb (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁

Proof of Theorem nmolb
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 12149 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2 nmofval.1 . . . . . . . 8 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3 nmofval.2 . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑆)
4 nmofval.3 . . . . . . . 8 𝐿 = (norm‘𝑆)
5 nmofval.4 . . . . . . . 8 𝑀 = (norm‘𝑇)
62, 3, 4, 5nmoval 22329 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) = inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < ))
7 ssrab2 3650 . . . . . . . . 9 {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))} ⊆ (0[,)+∞)
8 icossxr 12129 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
97, 8sstri 3577 . . . . . . . 8 {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))} ⊆ ℝ*
10 infxrcl 12035 . . . . . . . 8 ({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))} ⊆ ℝ* → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
126, 11eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
13 xrleid 11859 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁𝐹) ≤ (𝑁𝐹))
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ≤ (𝑁𝐹))
152, 3, 4, 5nmogelb 22330 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝑁𝐹) ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝑟)))
1612, 15mpdan 699 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝑟)))
1714, 16mpbid 221 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝑟))
18 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 · (𝐿𝑥)) = (𝐴 · (𝐿𝑥)))
1918breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
2019ralbidv 2969 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐴 → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
21 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐴 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝑟 ↔ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
2220, 21imbi12d 333 . . . . 5 (𝑟 = 𝐴 → ((∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝑟) ↔ (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)))
2322rspccv 3279 . . . 4 (∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝑟) → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)))
2417, 23syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)))
251, 24syl5bir 232 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)))
26253impib 1254 1 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  Basecbs 15695   GrpHom cghm 17480  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192   normOp cnmo 22319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-ico 12052  df-nmo 22322 This theorem is referenced by:  nmolb2d  22332  nmoleub  22345
 Copyright terms: Public domain W3C validator