MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoid 22356
Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoid.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoid.3 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
nmoid ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

Proof of Theorem nmoid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoid.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2 nmoid.2 . . 3 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2610 . . 3 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4 nmoid.3 . . 3 0 = (0g𝑆)
5 simpl 472 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
6 ngpgrp 22213 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
76adantr 480 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ Grp)
82idghm 17498 . . . 4 (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10 1red 9934 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
11 0le1 10430 . . . 4 0 ≤ 1
1211a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ 1)
132, 3nmcl 22230 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1413ad2ant2r 779 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1514leidd 10473 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ≤ ((norm‘𝑆)‘𝑥))
16 fvresi 6344 . . . . . 6 (𝑥𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
1716ad2antrl 760 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
1817fveq2d 6107 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
1914recnd 9947 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
2019mulid2d 9937 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
2115, 18, 203brtr4d 4615 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
221, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21nmolb2d 22332 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)
23 pssnel 3991 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝑉 → ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
2423adantl 481 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
25 velsn 4141 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
2625biimpri 217 . . . . 5 (𝑥 = 0𝑥 ∈ { 0 })
2726necon3bi 2808 . . . 4 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥0 )
2820, 18eqtr4d 2647 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)))
291nmocl 22334 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
305, 5, 9, 29syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
311nmoge0 22335 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
325, 5, 9, 31syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
33 xrrege0 11879 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∧ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
3430, 10, 32, 22, 33syl22anc 1319 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
351isnghm2 22338 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
365, 5, 9, 35syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3734, 36mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
3837adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
39 simprl 790 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝑥𝑉)
401, 2, 3, 3nmoi 22342 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
4138, 39, 40syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
4228, 41eqbrtrd 4605 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
43 1red 9934 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 1 ∈ ℝ)
4434adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
452, 3, 4nmrpcl 22234 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉𝑥0 ) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46453expb 1258 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
4746adantlr 747 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
4843, 44, 47lemul1d 11791 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ↔ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
4942, 48mpbird 246 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
5027, 49sylanr2 683 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
5124, 50exlimddv 1850 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
52 1re 9918 . . . 4 1 ∈ ℝ
5352rexri 9976 . . 3 1 ∈ ℝ*
54 xrletri3 11861 . . 3 (((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
5530, 53, 54sylancl 693 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
5622, 51, 55mpbir2and 959 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  wpss 3541  {csn 4125   class class class wbr 4583   I cid 4948  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  *cxr 9952  cle 9954  +crp 11708  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245   GrpHom cghm 17480  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192   normOp cnmo 22319   NGHom cnghm 22320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nmo 22322  df-nghm 22323
This theorem is referenced by:  idnghm  22357
  Copyright terms: Public domain W3C validator