Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nminvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nminvr 22283
 Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nminvr.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nminvr.i 𝐼 = (invr𝑅)
Assertion
Ref Expression
nminvr ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐼𝐴)) = (1 / (𝑁𝐴)))

Proof of Theorem nminvr
StepHypRef Expression
1 nrgngp 22276 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
213ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 nminvr.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
53, 4unitcl 18482 . . . . 5 (𝐴𝑈𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
653ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7 nminvr.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
83, 7nmcl 22230 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
92, 6, 8syl2anc 691 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
109recnd 9947 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
11 nzrring 19082 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12113ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp3 1056 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴𝑈)
14 nminvr.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
154, 14, 3ringinvcl 18499 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐼𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
1612, 13, 15syl2anc 691 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝐼𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
173, 7nmcl 22230 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐼𝐴)) ∈ ℝ)
182, 16, 17syl2anc 691 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐼𝐴)) ∈ ℝ)
1918recnd 9947 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐼𝐴)) ∈ ℂ)
207, 4unitnmn0 22282 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
21 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
22 eqid 2610 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
234, 14, 21, 22unitrinv 18501 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
2412, 13, 23syl2anc 691 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
2524fveq2d 6107 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))) = (𝑁‘(1r𝑅)))
26 simp1 1054 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝑅 ∈ NrmRing)
273, 7, 21nmmul 22278 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐼𝐴))))
2826, 6, 16, 27syl3anc 1318 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐼𝐴))))
297, 22nm1 22281 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑁‘(1r𝑅)) = 1)
30293adant3 1074 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(1r𝑅)) = 1)
3125, 28, 303eqtr3d 2652 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐼𝐴))) = 1)
3210, 19, 20, 31mvllmuld 10736 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐼𝐴)) = (1 / (𝑁𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  1rcur 18324  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  invrcinvr 18494  NzRingcnzr 19078  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192  NrmRingcnrg 22194 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-abv 18640  df-nzr 19079  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200 This theorem is referenced by:  nmdvr  22284
 Copyright terms: Public domain W3C validator