Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmvscn 22301
 Description: The scalar multiplication of a normed module is continuous. Lemma for nrgtrg 22304 and nlmtlm 22308. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.sf · = ( ·sf𝑊)
nlmvscn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
nlmvscn.kf 𝐾 = (TopOpen‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
nlmvscn (𝑊 ∈ NrmMod → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem nlmvscn
Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 𝑠 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 22292 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 nlmvscn.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5 nlmvscn.sf . . . . 5 · = ( ·sf𝑊)
62, 3, 4, 5lmodscaf 18708 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → · :((Base‘𝐹) × (Base‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
71, 6syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ NrmMod → · :((Base‘𝐹) × (Base‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
8 eqid 2610 . . . . . . 7 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
9 eqid 2610 . . . . . . 7 (dist‘𝐹) = (dist‘𝐹)
10 eqid 2610 . . . . . . 7 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
11 eqid 2610 . . . . . . 7 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
12 eqid 2610 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
13 eqid 2610 . . . . . . 7 ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝐹)‘𝑥) + 1)) = ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝐹)‘𝑥) + 1))
14 eqid 2610 . . . . . . 7 ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝑊)‘𝑦) + ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝐹)‘𝑥) + 1)))) = ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝑊)‘𝑦) + ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝐹)‘𝑥) + 1))))
15 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ NrmMod)
16 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
17 simplrl 796 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
18 simplrr 797 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
193, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18nlmvscnlem1 22300 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟))
2019ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟))
21 simplrl 796 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
22 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐹))
2321, 22ovresd 6699 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) = (𝑥(dist‘𝐹)𝑧))
2423breq1d 4593 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠))
25 simplrr 797 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
26 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))
2725, 26ovresd 6699 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) = (𝑦(dist‘𝑊)𝑤))
2827breq1d 4593 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠))
2924, 28anbi12d 743 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠)))
302, 3, 4, 5, 12scafval 18705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦))
3130ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦))
322, 3, 4, 5, 12scafval 18705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑧 · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑧 · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤))
3431, 33oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)))
351ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
362, 3, 12, 4lmodvscl 18703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
3735, 21, 25, 36syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
382, 3, 12, 4lmodvscl 18703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊))
3935, 22, 26, 38syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊))
4037, 39ovresd 6699 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)))
4134, 40eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)))
4241breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟 ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟))
4329, 42imbi12d 333 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟)))
44432ralbidva 2971 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (∀𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟)))
4544rexbidv 3034 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟)))
4645ralbidv 2969 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟)))
4720, 46mpbird 246 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟))
4847ralrimivva 2954 . . 3 (𝑊 ∈ NrmMod → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟))
493nlmngp2 22294 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
50 ngpms 22214 . . . . . 6 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ MetSp)
52 msxms 22069 . . . . 5 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
53 eqid 2610 . . . . . 6 ((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹))) = ((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))
544, 53xmsxmet 22071 . . . . 5 (𝐹 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐹)))
5551, 52, 543syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → ((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐹)))
56 nlmngp 22291 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
57 ngpms 22214 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
5856, 57syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ MetSp)
59 msxms 22069 . . . . 5 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
60 eqid 2610 . . . . . 6 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
612, 60xmsxmet 22071 . . . . 5 (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
6258, 59, 613syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
63 eqid 2610 . . . . 5 (MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) = (MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹))))
64 eqid 2610 . . . . 5 (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
6563, 64, 64txmetcn 22163 . . . 4 ((((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐹)) ∧ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊))) → ( · ∈ (((MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) ×t (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) ↔ ( · :((Base‘𝐹) × (Base‘𝑊))⟶(Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟))))
6655, 62, 62, 65syl3anc 1318 . . 3 (𝑊 ∈ NrmMod → ( · ∈ (((MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) ×t (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) ↔ ( · :((Base‘𝐹) × (Base‘𝑊))⟶(Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟))))
677, 48, 66mpbir2and 959 . 2 (𝑊 ∈ NrmMod → · ∈ (((MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) ×t (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))))
68 nlmvscn.kf . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘𝐹)
6968, 4, 53mstopn 22067 . . . . 5 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))))
7051, 69syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))))
71 nlmvscn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
7271, 2, 60mstopn 22067 . . . . 5 (𝑊 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
7358, 72syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
7470, 73oveq12d 6567 . . 3 (𝑊 ∈ NrmMod → (𝐾 ×t 𝐽) = ((MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) ×t (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))))
7574, 73oveq12d 6567 . 2 (𝑊 ∈ NrmMod → ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = (((MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) ×t (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))))
7667, 75eleqtrrd 2691 1 (𝑊 ∈ NrmMod → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  distcds 15777  TopOpenctopn 15905  LModclmod 18686   ·sf cscaf 18687  ∞Metcxmt 19552  MetOpencmopn 19557   Cn ccn 20838   ×t ctx 21173  ∞MetSpcxme 21932  MetSpcmt 21933  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192  NrmModcnlm 22195 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201 This theorem is referenced by:  nrgtrg  22304  nlmtlm  22308
 Copyright terms: Public domain W3C validator