Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpds 22218
 Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpds.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpds.m = (-g𝐺)
ngpds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ngpds ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem ngpds
StepHypRef Expression
1 ngpds.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 ngpds.m . . . . . 6 = (-g𝐺)
3 ngpds.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝐺)
4 ngpds.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2610 . . . . . 6 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
61, 2, 3, 4, 5isngp2 22211 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
76simp3bi 1071 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
873ad2ant1 1075 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
98oveqd 6566 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝑁 )𝐵) = (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵))
10 ngpgrp 22213 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
114, 2grpsubf 17317 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
13123ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
14 opelxpi 5072 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
15143adant1 1072 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
16 fvco3 6185 . . . 4 (( :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
1713, 15, 16syl2anc 691 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁 )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
18 df-ov 6552 . . 3 (𝐴(𝑁 )𝐵) = ((𝑁 )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
19 df-ov 6552 . . . 4 (𝐴 𝐵) = ( ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2019fveq2i 6106 . . 3 (𝑁‘(𝐴 𝐵)) = (𝑁‘( ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2117, 18, 203eqtr4g 2669 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝑁 )𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
22 ovres 6698 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
23223adant1 1072 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
249, 21, 233eqtr3rd 2653 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  MetSpcmt 21933  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198 This theorem is referenced by:  ngpdsr  22219  ngpds2  22220  ngprcan  22224  ngpinvds  22227  nmmtri  22236  nmrtri  22238  subgngp  22249  nrgdsdi  22279  nrgdsdir  22280  nlmdsdi  22295  nlmdsdir  22296  nrginvrcnlem  22305  nmods  22358  ncvspds  22769  ipcnlem2  22851  minveclem2  23005  minveclem3b  23007  minveclem4  23011  minveclem6  23013
 Copyright terms: Public domain W3C validator