Theorem nfitg 23347

Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if 𝑦 is (effectively) not free in 𝐴 and 𝐵, it is not free in ∫𝐴𝐵 d𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfitg.1	⊢ Ⅎ𝑦𝐴
nfitg.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfitg	⊢ Ⅎ𝑦∫𝐴𝐵 d𝑥

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nfitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 23342	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3		nfcv 2751	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(0...3)
4		nfcv 2751	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(i↑𝑘)
5		nfcv 2751	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 ·
6		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∫2
7		nfcv 2751	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
8		nfitg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
9	8	nfcri 2745	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
10		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦0
11		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
12		nfcv 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦ℜ
13		nfitg.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
14		nfcv 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 /
15	13, 14, 4	nfov 6575	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
16	12, 15	nffv 6110	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
17	10, 11, 16	nfbr 4629	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
18	9, 17	nfan 1816	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
19	18, 16, 10	nfif 4065	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
20	7, 19	nfmpt 4674	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
21	6, 20	nffv 6110	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
22	4, 5, 21	nfov 6575	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
23	3, 22	nfsum 14269	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
24	2, 23	nfcxfr 2749	1 ⊢ Ⅎ𝑦∫𝐴𝐵 d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  ici 9817   · cmul 9820   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  3c3 10948  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  ℜcre 13685  Σcsu 14264  ∫₂citg2 23191  ∫citg 23193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-sum 14265  df-itg 23198

This theorem is referenced by:  itgfsum  23399  itgulm2  23967  fourierdlem112  39111