Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | neiptop.0 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋) |
2 | 1 | feqmptd 6159 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑝))) |
3 | 1 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑝) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋) |
4 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → (𝑁‘𝑝) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋) |
5 | 4 | elpwid 4118 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → (𝑁‘𝑝) ⊆ 𝒫 𝑋) |
6 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
7 | 5, 6 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝑋) |
8 | 7 | elpwid 4118 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑐 ⊆ 𝑋) |
9 | | neiptop.o |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)} |
10 | | neiptop.1 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
11 | | neiptop.2 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (fi‘(𝑁‘𝑝)) ⊆ (𝑁‘𝑝)) |
12 | | neiptop.3 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑎) |
13 | | neiptop.4 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑞)) |
14 | | neiptop.5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
15 | 9, 1, 10, 11, 12, 13, 14 | neiptopuni 20744 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽) |
16 | 15 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽) |
17 | 16 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑋 = ∪ 𝐽) |
18 | 8, 17 | sseqtrd 3604 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝐽) |
19 | | ssrab2 3650 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋 |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) |
21 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑁‘𝑞) = (𝑁‘𝑟)) |
22 | 21 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) |
23 | 22 | elrab 3331 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ↔ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) |
24 | | simp-5l 804 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) → 𝜑) |
25 | | simpr1l 1111 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)})) → 𝑟 ∈ 𝑋) |
26 | 25 | 3anassrs 1282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) → 𝑟 ∈ 𝑋) |
27 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) → 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) |
28 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) |
29 | | sseq1 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ↔ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)})) |
30 | 29 | 3anbi2d 1396 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋))) |
31 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟) ↔ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟))) |
32 | 30, 31 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)))) |
33 | 32 | imbi1d 330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)))) |
34 | | simpl1l 1105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) → 𝜑) |
35 | 9, 1, 10, 11, 12, 13, 14 | neiptoptop 20745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top) |
36 | | uniexg 6853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽
∈ V) |
37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽
∈ V) |
38 | 15, 37 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V) |
39 | | rabexg 4739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑋 ∈ V → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ V) |
40 | | sseq2 3590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑏 = {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → (𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)})) |
41 | | sseq1 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑏 = {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → (𝑏 ⊆ 𝑋 ↔ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋)) |
42 | 40, 41 | 3anbi23d 1394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑏 = {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋))) |
43 | 42 | anbi1d 737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑏 = {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)))) |
44 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑏 = {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → (𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟) ↔ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟))) |
45 | 43, 44 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)))) |
46 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 ∈ 𝑋 ↔ 𝑟 ∈ 𝑋)) |
47 | 46 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋))) |
48 | 47 | 3anbi1d 1395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑝 = 𝑟 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋))) |
49 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑁‘𝑝) = (𝑁‘𝑟)) |
50 | 49 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟))) |
51 | 48, 50 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)))) |
52 | 49 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟))) |
53 | 51, 52 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑝 = 𝑟 → (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)))) |
54 | 53, 10 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) |
55 | 45, 54 | vtoclg 3239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ({𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ V → ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟))) |
56 | 38, 39, 55 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟))) |
57 | 34, 56 | mpcom 37 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑟)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)) |
58 | 33, 57 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)) |
59 | 58 | 3an1rs 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)) |
60 | 19, 59 | mpan2 703 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)) |
61 | 24, 26, 27, 28, 60 | syl211anc 1324 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) ∧ 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)) |
62 | | simplll 794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) → 𝜑) |
63 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) → 𝑟 ∈ 𝑋) |
64 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟)) |
65 | 49 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) |
66 | 47, 65 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑝 = 𝑟 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟)))) |
67 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑞 = 𝑠 → (𝑁‘𝑞) = (𝑁‘𝑠)) |
68 | 67 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑞 = 𝑠 → (𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠))) |
69 | 68 | cbvralv 3147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(∀𝑞 ∈
𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠)) |
70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠))) |
71 | 49, 70 | rexeqbidv 3130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑝 = 𝑟 → (∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠))) |
72 | 66, 71 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠)))) |
73 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))) |
74 | 73 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)))) |
75 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑞) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞))) |
76 | 75 | rexralbidv 3040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑞) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞))) |
77 | 74, 76 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑞)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)))) |
78 | 77, 13 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)) |
79 | 72, 78 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠)) |
80 | 1 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑟) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋) |
81 | 80 | elpwid 4118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑟) ⊆ 𝒫 𝑋) |
82 | 81 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑋) |
83 | 82 | elpwid 4118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) → 𝑏 ⊆ 𝑋) |
84 | 83 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑏) → 𝑠 ∈ 𝑋) |
85 | 84 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑏) → (𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠) → 𝑠 ∈ 𝑋)) |
86 | 85 | ancrd 575 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑏) → (𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠) → (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠)))) |
87 | 86 | ralimdva 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)) → (∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠) → ∀𝑠 ∈ 𝑏 (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠)))) |
88 | 87 | reximdva 3000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) → (∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠)))) |
89 | 88 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟)) → (∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠)))) |
90 | 79, 89 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠))) |
91 | 68 | elrab 3331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑠 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠))) |
92 | 91 | ralbii 2963 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(∀𝑠 ∈
𝑏 𝑠 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑏 (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠))) |
93 | 92 | rexbii 3023 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∃𝑏 ∈
(𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑠 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ↔ ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑠))) |
94 | 90, 93 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑠 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) |
95 | | dfss3 3558 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑠 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) |
96 | 95 | biimpri 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∀𝑠 ∈
𝑏 𝑠 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → 𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) |
97 | 96 | reximi 2994 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∃𝑏 ∈
(𝑁‘𝑟)∀𝑠 ∈ 𝑏 𝑠 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) |
98 | 94, 97 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) |
99 | 62, 63, 64, 98 | syl21anc 1317 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑟)𝑏 ⊆ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) |
100 | 61, 99 | r19.29a 3060 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑟))) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)) |
101 | 23, 100 | sylan2b 491 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)) |
102 | 101 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∀𝑟 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)) |
103 | 49 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑝 = 𝑟 → ({𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟))) |
104 | 103 | cbvralv 3147 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑝 ∈
{𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ ∀𝑟 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑟)) |
105 | 102, 104 | sylibr 223 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∀𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑝)) |
106 | 9 | neipeltop 20743 |
. . . . . . . . 9
⊢ ({𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ 𝐽 ↔ ({𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ (𝑁‘𝑝))) |
107 | 20, 105, 106 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ 𝐽) |
108 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋) |
109 | 108 | anim1i 590 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))) |
110 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑁‘𝑞) = (𝑁‘𝑝)) |
111 | 110 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))) |
112 | 111 | elrab 3331 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ↔ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))) |
113 | 109, 112 | sylibr 223 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)}) |
114 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑞((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
115 | | nfrab1 3099 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑞{𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} |
116 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑞𝑐 |
117 | | rabid 3095 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ↔ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞))) |
118 | | simplll 794 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞))) → 𝜑) |
119 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞))) → 𝑞 ∈ 𝑋) |
120 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞))) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)) |
121 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∈ 𝑋 ↔ 𝑞 ∈ 𝑋)) |
122 | 121 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋))) |
123 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑁‘𝑝) = (𝑁‘𝑞)) |
124 | 123 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞))) |
125 | 122, 124 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑝 = 𝑞 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)))) |
126 | | elequ1 1984 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∈ 𝑐 ↔ 𝑞 ∈ 𝑐)) |
127 | 125, 126 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑐) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑐))) |
128 | | elequ2 1991 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑝 ∈ 𝑎 ↔ 𝑝 ∈ 𝑐)) |
129 | 74, 128 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑎) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑐))) |
130 | 129, 12 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑐) |
131 | 127, 130 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑐) |
132 | 118, 119,
120, 131 | syl21anc 1317 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞))) → 𝑞 ∈ 𝑐) |
133 | 132 | ex 449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ((𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑐)) |
134 | 117, 133 | syl5bi 231 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → 𝑞 ∈ 𝑐)) |
135 | 114, 115,
116, 134 | ssrd 3573 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑐) |
136 | | eleq2 2677 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑑 = {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → (𝑝 ∈ 𝑑 ↔ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)})) |
137 | | sseq1 3589 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑑 = {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → (𝑑 ⊆ 𝑐 ↔ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑐)) |
138 | 136, 137 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑑 = {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} → ((𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) ↔ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑐))) |
139 | 138 | rspcev 3282 |
. . . . . . . 8
⊢ (({𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∈ 𝐽 ∧ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ∧ {𝑞 ∈ 𝑋 ∣ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑞)} ⊆ 𝑐)) → ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)) |
140 | 107, 113,
135, 139 | syl12anc 1316 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)) |
141 | 18, 140 | jca 553 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) |
142 | | nfv 1830 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑑(𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) |
143 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑑 𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 |
144 | | nfre1 2988 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑑∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) |
145 | 143, 144 | nfan 1816 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑑(𝑐 ⊆ ∪ 𝐽
∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)) |
146 | 142, 145 | nfan 1816 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑑((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) |
147 | | simplll 794 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) → (𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋)) |
148 | | simpr 476 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) → 𝑑 ⊆ 𝑐) |
149 | | simpr1l 1111 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝐽) |
150 | 149 | 3anassrs 1282 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝐽) |
151 | 147, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) → 𝑋 = ∪ 𝐽) |
152 | 150, 151 | sseqtr4d 3605 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝑋) |
153 | | simplr 788 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) → 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
154 | | sseq1 3589 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝑎 ⊆ 𝑐 ↔ 𝑑 ⊆ 𝑐)) |
155 | 154 | 3anbi2d 1396 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = 𝑑 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋))) |
156 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝))) |
157 | 155, 156 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)))) |
158 | 157 | imbi1d 330 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 = 𝑑 → (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)))) |
159 | | sseq2 3590 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐)) |
160 | | sseq1 3589 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑐 ⊆ 𝑋)) |
161 | 159, 160 | 3anbi23d 1394 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋))) |
162 | 161 | anbi1d 737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)))) |
163 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))) |
164 | 162, 163 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)))) |
165 | 164, 10 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
166 | 158, 165 | chvarv 2251 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
167 | 147, 148,
152, 153, 166 | syl31anc 1321 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
168 | 9 | neipeltop 20743 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑑 ∈ 𝐽 ↔ (𝑑 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑑 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝))) |
169 | 168 | simprbi 479 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑑 ∈ 𝐽 → ∀𝑝 ∈ 𝑑 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
170 | 169 | r19.21bi 2916 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑝 ∈ 𝑑) → 𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
171 | 170 | anim1i 590 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑝 ∈ 𝑑) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) → (𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)) |
172 | 171 | anasss 677 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)) |
173 | 172 | reximi2 2993 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑑 ∈
𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐) → ∃𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)𝑑 ⊆ 𝑐) |
174 | 173 | ad2antll 761 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) → ∃𝑑 ∈ (𝑁‘𝑝)𝑑 ⊆ 𝑐) |
175 | 146, 167,
174 | r19.29af 3058 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐))) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) |
176 | 141, 175 | impbida 873 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)))) |
177 | 35 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top) |
178 | 108, 16 | eleqtrd 2690 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ ∪ 𝐽) |
179 | | eqid 2610 |
. . . . . . 7
⊢ ∪ 𝐽 =
∪ 𝐽 |
180 | 179 | isneip 20719 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝐽)
→ (𝑐 ∈
((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)))) |
181 | 177, 178,
180 | syl2anc 691 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝑐 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑐)))) |
182 | 176, 181 | bitr4d 270 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝑐 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))) |
183 | 182 | eqrdv 2608 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑝) = ((nei‘𝐽)‘{𝑝})) |
184 | 183 | mpteq2dva 4672 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ (𝑁‘𝑝)) = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))) |
185 | 2, 184 | eqtrd 2644 |
1
⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))) |