Theorem neipeltop 20743

Description: Lemma for neiptopreu 20747. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
neiptop.o	⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}

Assertion

Ref	Expression
neipeltop	⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝐶   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑝,𝑎)   𝑁(𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem neipeltop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2676	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
2	1	raleqbi1dv 3123	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
3		neiptop.o	. . 3 ⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}
4	2, 3	elrab2 3333	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
5		0ex 4718	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
6		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐶 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
7	5, 6	mpbiri 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 ∈ V)
9		elex 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → 𝐶 ∈ V)
10	9	ralimi 2936	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V)
11		r19.3rzv 4016	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ∈ V ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V))
12	11	biimparc 503	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐶 ∈ V)
13	10, 12	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐶 ∈ V)
14	8, 13	pm2.61dane 2869	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → 𝐶 ∈ V)
15		elpwg 4116	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑋))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑋))
17	16	pm5.32ri 668	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
18	4, 17	bitri 263	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-pw 4110

This theorem is referenced by:  neiptopuni  20744  neiptoptop  20745  neiptopnei  20746  neiptopreu  20747