Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neindisj2 20737
 Description: A point 𝑃 belongs to the closure of a set 𝑆 iff every neighborhood of 𝑃 meets 𝑆. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tpnei.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neindisj2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐽   𝑃,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem neindisj2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpnei.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21elcls 20687 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
31isneip 20719 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑛𝑋 ∧ ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛))))
4 r19.29r 3055 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐽 ((𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
5 pm3.35 609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑥 ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑥𝑆) ≠ ∅)
6 ssrin 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑛 → (𝑥𝑆) ⊆ (𝑛𝑆))
7 sseq2 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛𝑆) = ∅ → ((𝑥𝑆) ⊆ (𝑛𝑆) ↔ (𝑥𝑆) ⊆ ∅))
8 ss0 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑆) ⊆ ∅ → (𝑥𝑆) = ∅)
97, 8syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑆) = ∅ → ((𝑥𝑆) ⊆ (𝑛𝑆) → (𝑥𝑆) = ∅))
106, 9syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑛 → ((𝑛𝑆) = ∅ → (𝑥𝑆) = ∅))
1110necon3d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑛 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
125, 11syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑥 ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑥𝑛 → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
1312ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑥 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑥𝑛 → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
1413com23 84 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑛 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
1514imp31 447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)
1615rexlimivw 3011 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐽 ((𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)
174, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)
1817ex 449 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
1918adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑋 ∧ ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛)) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
203, 19syl6bi 242 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
21203adant2 1073 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
2221com23 84 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
2322imp 444 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
2423ralrimiv 2948 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅)
25 opnneip 20733 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
26 ineq1 3769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛𝑆) = (𝑥𝑆))
2726neeq1d 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑛𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2827rspccva 3281 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑥𝑆) ≠ ∅)
29 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑋 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
30293exp 1256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑋 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
3130com14 94 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
3228, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
3332ex 449 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3433com3l 87 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3525, 34mpcom 37 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
36353expia 1259 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑃𝑥 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3736com25 97 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑃𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3837ex 449 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → (𝑃𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))))
3938com25 97 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑥𝐽 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))))
40393imp1 1272 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅) → (𝑥𝐽 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
4140ralrimiv 2948 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
4224, 41impbida 873 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅))
432, 42bitrd 267 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ∪ cuni 4372  ‘cfv 5804  Topctop 20517  clsccl 20632  neicnei 20711 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-top 20521  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712 This theorem is referenced by:  islp2  20759  trnei  21506  flimclsi  21592
 Copyright terms: Public domain W3C validator