Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neik0pk1imk0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neik0pk1imk0 37365
 Description: Kuratowski's K0' and K1 axioms imply K0. Neighborhood version. (Contributed by RP, 3-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
neik0pk1imk0.bex (𝜑𝐵𝑉)
neik0pk1imk0.n (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵))
neik0pk1imk0.k0p (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅)
neik0pk1imk0.k1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
Assertion
Ref Expression
neik0pk1imk0 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡   𝑁,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑥   𝑥,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐵(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem neik0pk1imk0
StepHypRef Expression
1 neik0pk1imk0.k1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
2 neik0pk1imk0.bex . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
3 pwidg 4121 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
5 sseq2 3590 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐵 → (𝑠𝑡𝑠𝐵))
65anbi2d 736 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
7 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 ∈ (𝑁𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
86, 7imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
98rspcv 3278 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1110ralimdv 2946 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1211ralimdv 2946 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
131, 12mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
14 r19.23v 3005 . . . . . 6 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
1514biimpi 205 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1716ralimdv 2946 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1813, 17mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
19 neik0pk1imk0.k0p . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅)
20 neik0pk1imk0.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵))
21 elmapi 7765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵) → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
2322ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
2423elpwid 4118 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ⊆ 𝒫 𝐵)
2524sseld 3567 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵))
2625ancrd 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))))
2726eximdv 1833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))))
28 n0 3890 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁𝑥))
29 df-rex 2902 . . . . . . . 8 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
3027, 28, 293imtr4g 284 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
3130imp 444 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))
32 elpwi 4117 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
3325, 32syl6 34 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3433alrimiv 1842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑠(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
35 alral 2912 . . . . . . . 8 (∀𝑠(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3736adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3831, 37r19.29imd 3056 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵))
3938ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
4039ralimdva 2945 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
4119, 40mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵))
42 ralim 2932 . 2 (∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
4318, 41, 42sylc 63 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator