Theorem neik0pk1imk0 37365

Description: Kuratowski's K0' and K1 axioms imply K0. Neighborhood version. (Contributed by RP, 3-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
neik0pk1imk0.bex	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
neik0pk1imk0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑𝑚 𝐵))
neik0pk1imk0.k0p	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑁‘𝑥) ≠ ∅)
neik0pk1imk0.k1	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
neik0pk1imk0	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡   𝑁,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑥   𝑥,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐵(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem neik0pk1imk0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neik0pk1imk0.k1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)))
2		neik0pk1imk0.bex	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		pwidg 4121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
5		sseq2 3590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝑠 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵))
6	5	anbi2d 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵)))
7		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
8	6, 7	imbi12d 333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
9	8	rspcv 3278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
11	10	ralimdv 2946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
12	11	ralimdv 2946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
13	1, 12	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
14		r19.23v 3005	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
15	14	biimpi 205	. . . . 5 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
17	16	ralimdv 2946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
18	13, 17	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
19		neik0pk1imk0.k0p	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑁‘𝑥) ≠ ∅)
20		neik0pk1imk0.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑𝑚 𝐵))
21		elmapi 7765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑𝑚 𝐵) → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
23	22	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
24	23	elpwid 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝐵)
25	24	sseld 3567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵))
26	25	ancrd 575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
27	26	eximdv 1833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
28		n0 3890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))
29		df-rex 2902	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
30	27, 28, 29	3imtr4g 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
31	30	imp 444	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))
32		elpwi 4117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
33	25, 32	syl6 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ⊆ 𝐵))
34	33	alrimiv 1842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑠(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ⊆ 𝐵))
35		alral 2912	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑠(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ⊆ 𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ⊆ 𝐵))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ⊆ 𝐵))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ⊆ 𝐵))
38	31, 37	r19.29imd 3056	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵))
39	38	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵)))
40	39	ralimdva 2945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑁‘𝑥) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵)))
41	19, 40	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵))
42		ralim 2932	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
43	18, 41, 42	sylc 63	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746

This theorem is referenced by: (None)