Theorem negfi 10850

Description: The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negfi	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem negfi

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
2		renegcl 10223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl6 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 → -𝑎 ∈ ℝ))
4	3	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → -𝑎 ∈ ℝ)
5	4	ralrimiva 2949	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑎 ∈ 𝐴 -𝑎 ∈ ℝ)
6		dmmptg 5549	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐴 -𝑎 ∈ ℝ → dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
8	7	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 = dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎))
9	8	eleq1d 2672	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
10		funmpt 5840	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎)
11		fundmfibi 8130	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
12	10, 11	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
13	9, 12	bitr4d 270	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
14		reex 9906	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	ssex 4730	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
16		mptexg 6389	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
18		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎)
19	18	negf1o 10339	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
20		f1of1 6049	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
22		f1vrnfibi 8134	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
23	17, 21, 22	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
24	1	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
25	2	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -𝑎 ∈ ℝ)
26		recn 9905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
27	26	negnegd 10262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
28	27	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 = --𝑎)
29	28	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ --𝑎 ∈ 𝐴))
30	29	biimpcd 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 ∈ 𝐴))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 ∈ 𝐴))
32	31	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → --𝑎 ∈ 𝐴)
33	25, 32	jca 553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴))
34	24, 33	mpdan 699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴))
35		eleq1 2676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ↔ -𝑎 ∈ ℝ))
36		negeq 10152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → -𝑛 = --𝑎)
37	36	eleq1d 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ --𝑎 ∈ 𝐴))
38	35, 37	anbi12d 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴)))
39	34, 38	syl5ibrcom 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
40	39	rexlimdva 3013	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
41		simprr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → -𝑛 ∈ 𝐴)
42		negeq 10152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = -𝑛 → -𝑎 = --𝑛)
43	42	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = -𝑛 → (𝑛 = -𝑎 ↔ 𝑛 = --𝑛))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑎 = -𝑛) → (𝑛 = -𝑎 ↔ 𝑛 = --𝑛))
45		recn 9905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ ℂ)
46		negneg 10210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → --𝑛 = 𝑛)
47	46	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 = --𝑛)
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 = --𝑛)
49	48	ad2antrl 760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → 𝑛 = --𝑛)
50	41, 44, 49	rspcedvd 3289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎)
51	50	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎))
52	40, 51	impbid 201	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎 ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
53	52	abbidv 2728	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑛 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)})
54	18	rnmpt 5292	. . . . 5 ⊢ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎}
55		df-rab 2905	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)}
56	53, 54, 55	3eqtr4g 2669	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})
57	56	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin))
58	13, 23, 57	3bitrd 293	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin))
59	58	biimpa 500	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  fiminre  10851