Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negf1o 10339
 Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
negf1o.1 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negf1o (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negf1o.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
2 ssel 3562 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
3 renegcl 10223 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
42, 3syl6 34 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
54imp 444 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
62imp 444 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 recn 9905 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 negneg 10210 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
98eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
1110eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1211biimpcd 238 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
1312adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
146, 13mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → --𝑥𝐴)
15 negeq 10152 . . . . . 6 (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
1615eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1716elrab 3331 . . . 4 (-𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (-𝑥 ∈ ℝ ∧ --𝑥𝐴))
185, 14, 17sylanbrc 695 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
19 negeq 10152 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
2019eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
2120elrab 3331 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴))
22 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴)
2322a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴))
2421, 23syl5bi 231 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → -𝑦𝐴))
2524imp 444 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → -𝑦𝐴)
262, 7syl6com 36 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2726adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2827imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 recn 9905 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3029ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 negcon2 10213 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3228, 30, 31syl2anc 691 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3332exp31 628 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3421, 33sylbi 206 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3534impcom 445 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥)))
3635impcom 445 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
371, 18, 25, 36f1ocnv2d 6784 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↦ -𝑦)))
3837simpld 474 1 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  –1-1-onto→wf1o 5803  ℂcc 9813  ℝcr 9814  -cneg 10146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148 This theorem is referenced by:  negfi  10850
 Copyright terms: Public domain W3C validator