Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvspds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvspds 22769
 Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 13-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvspds.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvspds.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvspds.p + = (+g𝐺)
ncvspds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
ncvspds.s · = ( ·𝑠𝐺)
Assertion
Ref Expression
ncvspds ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))

Proof of Theorem ncvspds
StepHypRef Expression
1 elin 3758 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
2 nvcnlm 22310 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
3 nlmngp 22291 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
54adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
61, 5sylbi 206 . . 3 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
7 ncvspds.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
8 ncvspds.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
9 eqid 2610 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
10 ncvspds.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
117, 8, 9, 10ngpds 22218 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
126, 11syl3an1 1351 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
13 id 22 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂVec)
1413cvsclm 22734 . . . . 5 (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂMod)
151, 14simplbiim 657 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ ℂMod)
16 ncvspds.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
17 eqid 2610 . . . . 5 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
18 ncvspds.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐺)
198, 16, 9, 17, 18clmvsubval 22717 . . . 4 ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2015, 19syl3an1 1351 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2120fveq2d 6107 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
2212, 21eqtrd 2644 1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  -cneg 10146  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  distcds 15777  -gcsg 17247  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192  NrmModcnlm 22195  NrmVeccnvc 22196  ℂModcclm 22670  ℂVecccvs 22731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nlm 22201  df-nvc 22202  df-clm 22671  df-cvs 22732 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator