Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nbusgrf1o0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbusgrf1o0 40597
 Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbusgrf1o1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
nbusgrf1o.f 𝐹 = (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
Assertion
Ref Expression
nbusgrf1o0 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑁1-1-onto𝐼)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒   𝑛,𝐸   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐼,𝑛   𝑒,𝑁,𝑛   𝑈,𝑛   𝑒,𝑉,𝑛   𝑒,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem nbusgrf1o0
StepHypRef Expression
1 nbusgrf1o1.n . . . . . 6 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
21eleq2i 2680 . . . . 5 (𝑛𝑁𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
3 nbusgrf1o1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
43nbusgreledg 40575 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸))
6 prcom 4211 . . . . . . . . . . 11 {𝑛, 𝑈} = {𝑈, 𝑛}
76eleq1i 2679 . . . . . . . . . 10 ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
87biimpi 205 . . . . . . . . 9 ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
98adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸)
10 prid1g 4239 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
1110adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
1211adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛})
13 nbusgrf1o1.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
1413eleq2i 2680 . . . . . . . . 9 ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ {𝑈, 𝑛} ∈ {𝑒𝐸𝑈𝑒})
15 eleq2 2677 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {𝑈, 𝑛} → (𝑈𝑒𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
1615elrab 3331 . . . . . . . . 9 ({𝑈, 𝑛} ∈ {𝑒𝐸𝑈𝑒} ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
1714, 16bitri 263 . . . . . . . 8 ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ↔ ({𝑈, 𝑛} ∈ 𝐸𝑈 ∈ {𝑈, 𝑛}))
189, 12, 17sylanbrc 695 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ {𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
1918ex 449 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑛, 𝑈} ∈ 𝐸 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
205, 19sylbid 229 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
212, 20syl5bi 231 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑛𝑁 → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼))
2221imp 444 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑛𝑁) → {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
2322ralrimiva 2949 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∀𝑛𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼)
2413rabeq2i 3170 . . . 4 (𝑒𝐼 ↔ (𝑒𝐸𝑈𝑒))
25 nbusgrf1o1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2625, 3, 1edgnbusgreu 40595 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑒𝐸𝑈𝑒)) → ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
2724, 26sylan2b 491 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑒𝐼) → ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
2827ralrimiva 2949 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∀𝑒𝐼 ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛})
29 nbusgrf1o.f . . 3 𝐹 = (𝑛𝑁 ↦ {𝑈, 𝑛})
3029f1ompt 6290 . 2 (𝐹:𝑁1-1-onto𝐼 ↔ (∀𝑛𝑁 {𝑈, 𝑛} ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑒𝐼 ∃!𝑛𝑁 𝑒 = {𝑈, 𝑛}))
3123, 28, 30sylanbrc 695 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑁1-1-onto𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃!wreu 2898  {crab 2900  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379   NeighbVtx cnbgr 40550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-nbgr 40554 This theorem is referenced by:  nbusgrf1o1  40598
 Copyright terms: Public domain W3C validator