Theorem mulnzcnopr 10552

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mulnzcnopr	⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem mulnzcnopr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 9895	. . . . 5 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffnov 6662	. . . . 5 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ↔ ( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ))
3	1, 2	mpbi 219	. . . 4 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	simpli 473	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
5		difss 3699	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
6		xpss12 5148	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ))
7	5, 5, 6	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ)
8		fnssres 5918	. . 3 ⊢ (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
9	4, 7, 8	mp2an 704	. 2 ⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))
10		ovres 6698	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
11		eldifsn 4260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
12		eldifsn 4260	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
13		mulcl 9899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
14	13	ad2ant2r 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
15		mulne0 10548	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
16	14, 15	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
17	11, 12, 16	syl2anb 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
18		eldifsn 4260	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
19	17, 18	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20	10, 19	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21	20	rgen2a 2960	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})
22		ffnov 6662	. 2 ⊢ (( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0}) ↔ (( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
23	9, 21, 22	mpbir2an 957	1 ⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   × cxp 5036   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by: (None)