Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclpi 9594
 Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 9586 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
2 pinn 9579 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 9579 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnmcl 7579 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
52, 3, 4syl2an 493 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 9578 . . . . . . 7 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
76simprbi 479 . . . . . 6 (𝐵N → ∅ ∈ 𝐵)
87adantl 481 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐵)
93adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐵 ∈ ω)
102adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐴 ∈ ω)
11 elni2 9578 . . . . . . . 8 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
1211simprbi 479 . . . . . . 7 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐴)
14 nnmordi 7598 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
159, 10, 13, 14syl21anc 1317 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
168, 15mpd 15 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵))
17 ne0i 3880 . . . 4 ((𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅)
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅)
19 elni 9577 . . 3 ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅))
205, 18, 19sylanbrc 695 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ N)
211, 20eqeltrd 2688 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ·𝑜 comu 7445  Ncnpi 9545   ·N cmi 9547 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-ni 9573  df-mi 9575 This theorem is referenced by:  mulasspi  9598  distrpi  9599  mulcanpi  9601  ltmpi  9605  enqer  9622  addpqf  9645  mulpqf  9647  adderpqlem  9655  mulerpqlem  9656  addassnq  9659  mulassnq  9660  mulcanenq  9661  distrnq  9662  recmulnq  9665  ltsonq  9670  lterpq  9671  ltanq  9672  ltmnq  9673  ltexnq  9676  archnq  9681
 Copyright terms: Public domain W3C validator