MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0bi 11812
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0bi (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))))

Proof of Theorem mul2lt0bi
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mul2lt0.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 9949 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4 0red 9920 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
53, 4ltnled 10063 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
61adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
72adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 simprl 790 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
9 simprr 792 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
106, 7, 8, 9mulge0d 10483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
1110ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
1211con3d 147 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
135, 12sylbid 229 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
14 ianor 508 . . . . . 6 (¬ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵))
1513, 14syl6ib 240 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
161, 4ltnled 10063 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
172, 4ltnled 10063 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐵))
1816, 17orbi12d 742 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐴 ∨ ¬ 0 ≤ 𝐵)))
1915, 18sylibrd 248 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0)))
2019imp 444 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0))
21 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
232adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2522, 23, 24mul2lt0llt0 11810 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
2621, 25jca 553 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
2726ex 449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 < 0 → (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
2822, 23, 24mul2lt0rlt0 11808 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
29 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
3028, 29jca 553 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴𝐵 < 0))
3130ex 449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 < 0 → (0 < 𝐴𝐵 < 0)))
3227, 31orim12d 879 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐵 < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))))
3320, 32mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0)))
341adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
35 0red 9920 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
362adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37 simprr 792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
3836, 37elrpd 11745 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
39 simprl 790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < 0)
4034, 35, 38, 39ltmul1dd 11803 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < (0 · 𝐵))
4136recnd 9947 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4241mul02d 10113 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 · 𝐵) = 0)
4340, 42breqtrd 4609 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
442adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
45 0red 9920 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 0 ∈ ℝ)
461adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47 simprl 790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 0 < 𝐴)
4846, 47elrpd 11745 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
49 simprr 792 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐵 < 0)
5044, 45, 48, 49ltmul2dd 11804 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0))
5146recnd 9947 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5251mul01d 10114 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → (𝐴 · 0) = 0)
5350, 52breqtrd 4609 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝐴𝐵 < 0)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
5443, 53jaodan 822 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
5533, 54impbida 873 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ∨ (0 < 𝐴𝐵 < 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-rp 11709
This theorem is referenced by:  ztprmneprm  41918
  Copyright terms: Public domain W3C validator