Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem msubf 30683
 Description: A substitution is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubco.s 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
msubf.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
msubf (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹:𝐸𝐸)

Proof of Theorem msubf
StepHypRef Expression
1 n0i 3879 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2 msubco.s . . . . . . . 8 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
3 fvprc 6097 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ V → (mSubst‘𝑇) = ∅)
42, 3syl5eq 2656 . . . . . . 7 𝑇 ∈ V → 𝑆 = ∅)
54rneqd 5274 . . . . . 6 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ran ∅)
6 rn0 5298 . . . . . 6 ran ∅ = ∅
75, 6syl6eq 2660 . . . . 5 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
81, 7nsyl2 141 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝑇 ∈ V)
9 eqid 2610 . . . . 5 (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
10 eqid 2610 . . . . 5 (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
11 msubf.e . . . . 5 𝐸 = (mEx‘𝑇)
129, 10, 2, 11msubff 30681 . . . 4 (𝑇 ∈ V → 𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝐸𝑚 𝐸))
13 frn 5966 . . . 4 (𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝐸𝑚 𝐸) → ran 𝑆 ⊆ (𝐸𝑚 𝐸))
148, 12, 133syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ran 𝑆 ⊆ (𝐸𝑚 𝐸))
15 id 22 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ ran 𝑆)
1614, 15sseldd 3569 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝐸))
17 elmapi 7765 . 2 (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝐸) → 𝐹:𝐸𝐸)
1816, 17syl 17 1 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹:𝐸𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744   ↑pm cpm 7745  mVRcmvar 30612  mRExcmrex 30617  mExcmex 30618  mSubstcmsub 30622 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-frmd 17209  df-mrex 30637  df-mex 30638  df-mrsub 30641  df-msub 30642 This theorem is referenced by:  mclsssvlem  30713  mclsax  30720  mclsppslem  30734  mclspps  30735
 Copyright terms: Public domain W3C validator