Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubcn 30670
 Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
mrsubccat.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubcn.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubcn.c 𝐶 = (mCN‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubcn ((𝐹 ∈ ran 𝑆𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

Proof of Theorem mrsubcn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3879 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2 mrsubccat.s . . . . . . . 8 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3 fvprc 6097 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ V → (mRSubst‘𝑇) = ∅)
42, 3syl5eq 2656 . . . . . . 7 𝑇 ∈ V → 𝑆 = ∅)
54rneqd 5274 . . . . . 6 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ran ∅)
6 rn0 5298 . . . . . 6 ran ∅ = ∅
75, 6syl6eq 2660 . . . . 5 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
81, 7nsyl2 141 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝑇 ∈ V)
9 mrsubcn.v . . . . 5 𝑉 = (mVR‘𝑇)
10 mrsubccat.r . . . . 5 𝑅 = (mREx‘𝑇)
119, 10, 2mrsubff 30663 . . . 4 (𝑇 ∈ V → 𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅𝑚 𝑅))
12 ffun 5961 . . . 4 (𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅𝑚 𝑅) → Fun 𝑆)
138, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
149, 10, 2mrsubrn 30664 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅𝑚 𝑉))
1514eleq2i 2680 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅𝑚 𝑉)))
1615biimpi 205 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅𝑚 𝑉)))
17 fvelima 6158 . . 3 ((Fun 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅𝑚 𝑉))) → ∃𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)(𝑆𝑓) = 𝐹)
1813, 16, 17syl2anc 691 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)(𝑆𝑓) = 𝐹)
19 elmapi 7765 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑓:𝑉𝑅)
2019adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑓:𝑉𝑅)
21 ssid 3587 . . . . . . 7 𝑉𝑉
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑉𝑉)
23 eldifi 3694 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → 𝑋𝐶)
24 elun1 3742 . . . . . . . 8 (𝑋𝐶𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → 𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
27 mrsubcn.c . . . . . . 7 𝐶 = (mCN‘𝑇)
2827, 9, 10, 2mrsubcv 30661 . . . . . 6 ((𝑓:𝑉𝑅𝑉𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝑉, (𝑓𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
2920, 22, 26, 28syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝑉, (𝑓𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
30 eldifn 3695 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → ¬ 𝑋𝑉)
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ¬ 𝑋𝑉)
3231iffalsed 4047 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → if(𝑋𝑉, (𝑓𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
3329, 32eqtrd 2644 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
34 fveq1 6102 . . . . 5 ((𝑆𝑓) = 𝐹 → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘⟨“𝑋”⟩))
3534eqeq1d 2612 . . . 4 ((𝑆𝑓) = 𝐹 → (((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩ ↔ (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
3633, 35syl5ibcom 234 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑆𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
3736rexlimdva 3013 . 2 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → (∃𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)(𝑆𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
3818, 37mpan9 485 1 ((𝐹 ∈ ran 𝑆𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  ran crn 5039   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744   ↑pm cpm 7745  ⟨“cs1 13149  mCNcmcn 30611  mVRcmvar 30612  mRExcmrex 30617  mRSubstcmrsub 30621 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-frmd 17209  df-mrex 30637  df-mrsub 30641 This theorem is referenced by:  elmrsubrn  30671  mrsubco  30672  mrsubvrs  30673
 Copyright terms: Public domain W3C validator