MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatglb 17007
Description: Greatest lower bounds in a Moore space are realized by intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrelatglb ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → (𝐺𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem mrelatglb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
32ipobas 16978 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
433ad2ant1 1075 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5 mrelatglb.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐼)
65a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
72ipopos 16983 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐼 ∈ Poset)
9 simp2 1055 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝑈𝐶)
10 mreintcl 16078 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝑈𝐶)
11 intss1 4427 . . . 4 (𝑥𝑈 𝑈𝑥)
1211adantl 481 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝑥)
13 simpl1 1057 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
1410adantr 480 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝐶)
159sselda 3568 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
162, 1ipole 16981 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑥𝐶) → ( 𝑈(le‘𝐼)𝑥 𝑈𝑥))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1318 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ( 𝑈(le‘𝐼)𝑥 𝑈𝑥))
1812, 17mpbird 246 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈(le‘𝐼)𝑥)
19 simpll1 1093 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
20 simplr 788 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦𝐶)
21 simpl2 1058 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈𝐶)
2221sselda 3568 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
232, 1ipole 16981 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝐶𝑥𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2419, 20, 22, 23syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2524biimpd 218 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2625ralimdva 2945 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) → (∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥 → ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥))
27263impia 1253 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥)
28 ssint 4428 . . . 4 (𝑦 𝑈 ↔ ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥)
2927, 28sylibr 223 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦 𝑈)
30 simp11 1084 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
31 simp2 1055 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦𝐶)
32103ad2ant1 1075 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑈𝐶)
332, 1ipole 16981 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝐶 𝑈𝐶) → (𝑦(le‘𝐼) 𝑈𝑦 𝑈))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1318 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → (𝑦(le‘𝐼) 𝑈𝑦 𝑈))
3529, 34mpbird 246 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼) 𝑈)
361, 4, 6, 8, 9, 10, 18, 35posglbd 16973 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → (𝐺𝑈) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wss 3540  c0 3874   cint 4410   class class class wbr 4583  cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  Moorecmre 16065  Posetcpo 16763  glbcglb 16766  toInccipo 16974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ocomp 15790  df-mre 16069  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-odu 16952  df-ipo 16975
This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17010
  Copyright terms: Public domain W3C validator