Theorem mreincl 16082

Description: Two closed sets have a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreincl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mreincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	3adant1 1072	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
3		simp1 1054	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
4		prssi 4293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
5	4	3adant1 1072	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
6		prnzg 4254	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
7	6	3ad2ant2 1076	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
8		mreintcl 16078	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
10	2, 9	eqeltrrd 2689	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  ∩ cint 4410  ‘cfv 5804  Moorecmre 16065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-mre 16069

This theorem is referenced by:  submacs  17188  subgacs  17452  nsgacs  17453  lsmmod  17911  lssacs  18788  mreclatdemoBAD  20710  subrgacs  36789  sdrgacs  36790