Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexexlem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexexlem3d 16129
 Description: Base case of the induction in mreexexd 16131. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexexlem2d.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.6 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.7 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
mreexexlem2d.8 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem3d.9 (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
Assertion
Ref Expression
mreexexlem3d (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐻   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)

Proof of Theorem mreexexlem3d
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝐹 = ∅) → 𝐹 = ∅)
2 mreexexlem2d.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 mreexexlem2d.2 . . . . . . . . 9 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5 mreexexlem2d.3 . . . . . . . . 9 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6 mreexexlem2d.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
8 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐺 = ∅)
98uneq1d 3728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐺𝐻) = (∅ ∪ 𝐻))
10 uncom 3719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐻)
11 un0 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ ∅) = 𝐻
1210, 11eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ 𝐻) = 𝐻
139, 12syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐺𝐻) = 𝐻)
1413fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝑁‘(𝐺𝐻)) = (𝑁𝐻))
157, 14sseqtrd 3604 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁𝐻))
16 mreexexlem2d.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
185, 3, 17mrissd 16119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ⊆ 𝑋)
1918unssbd 3753 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻𝑋)
203, 4, 19mrcssidd 16108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝑁𝐻))
2115, 20unssd 3751 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ⊆ (𝑁𝐻))
22 ssun2 3739 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ (𝐹𝐻)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝐹𝐻))
243, 4, 5, 21, 23, 17mrissmrcd 16123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) = 𝐻)
25 ssequn1 3745 . . . . . . . 8 (𝐹𝐻 ↔ (𝐹𝐻) = 𝐻)
2624, 25sylibr 223 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹𝐻)
27 mreexexlem2d.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
2926, 28ssind 3799 . . . . . 6 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝐻 ∩ (𝑋𝐻)))
30 disjdif 3992 . . . . . 6 (𝐻 ∩ (𝑋𝐻)) = ∅
3129, 30syl6sseq 3614 . . . . 5 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ ∅)
32 ss0b 3925 . . . . 5 (𝐹 ⊆ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3331, 32sylib 207 . . . 4 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 = ∅)
34 mreexexlem3d.9 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
351, 33, 34mpjaodan 823 . . 3 (𝜑𝐹 = ∅)
36 0elpw 4760 . . 3 ∅ ∈ 𝒫 𝐺
3735, 36syl6eqel 2696 . 2 (𝜑𝐹 ∈ 𝒫 𝐺)
382elfvexd 6132 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
3927difss2d 3702 . . . 4 (𝜑𝐹𝑋)
4038, 39ssexd 4733 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
41 enrefg 7873 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹𝐹)
4240, 41syl 17 . 2 (𝜑𝐹𝐹)
43 breq2 4587 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 → (𝐹𝑖𝐹𝐹))
44 uneq1 3722 . . . . 5 (𝑖 = 𝐹 → (𝑖𝐻) = (𝐹𝐻))
4544eleq1d 2672 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 → ((𝑖𝐻) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼))
4643, 45anbi12d 743 . . 3 (𝑖 = 𝐹 → ((𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼) ↔ (𝐹𝐹 ∧ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)))
4746rspcev 3282 . 2 ((𝐹 ∈ 𝒫 𝐺 ∧ (𝐹𝐹 ∧ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
4837, 42, 16, 47syl12anc 1316 1 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804   ≈ cen 7838  Moorecmre 16065  mrClscmrc 16066  mrIndcmri 16067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-en 7842  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-mri 16071 This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  16130  mreexexd  16131  mreexexdOLD  16132
 Copyright terms: Public domain W3C validator