Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptcoe1fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptcoe1fsupp 19406
 Description: A mapping involving coefficients of polynomials is finitely supported. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptcoe1fsupp.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mptcoe1fsupp.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mptcoe1fsupp.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mptcoe1fsupp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝑀)‘𝑘)) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑅,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1fsupp
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptcoe1fsupp.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
2 fvex 6113 . . . 4 (0g𝑅) ∈ V
31, 2eqeltri 2684 . . 3 0 ∈ V
43a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 ∈ V)
5 eqid 2610 . . . 4 (coe1𝑀) = (coe1𝑀)
6 mptcoe1fsupp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
7 mptcoe1fsupp.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
95, 6, 7, 8coe1fvalcl 19403 . . 3 ((𝑀𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑀)‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
109adantll 746 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑀)‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
11 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
125, 6, 7, 1, 8coe1fsupp 19405 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (coe1𝑀) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑐 finSupp 0 })
13 elrabi 3328 . . . . . 6 ((coe1𝑀) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑐 finSupp 0 } → (coe1𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (coe1𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0))
1514, 3jctir 559 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((coe1𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 0 ∈ V))
165, 6, 7, 1coe1sfi 19404 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (coe1𝑀) finSupp 0 )
1716adantl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (coe1𝑀) finSupp 0 )
18 fsuppmapnn0ub 12657 . . . 4 (((coe1𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 0 ∈ V) → ((coe1𝑀) finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑀)‘𝑥) = 0 )))
1915, 17, 18sylc 63 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑀)‘𝑥) = 0 ))
20 csbfv 6143 . . . . . . . 8 𝑥 / 𝑘((coe1𝑀)‘𝑘) = ((coe1𝑀)‘𝑥)
21 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ((coe1𝑀)‘𝑥) = 0 )
2220, 21syl5eq 2656 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑀)‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 / 𝑘((coe1𝑀)‘𝑘) = 0 )
2322exp31 628 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1𝑀)‘𝑥) = 0𝑥 / 𝑘((coe1𝑀)‘𝑘) = 0 )))
2423a2d 29 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑀)‘𝑥) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘((coe1𝑀)‘𝑘) = 0 )))
2524ralimdva 2945 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘((coe1𝑀)‘𝑘) = 0 )))
2625reximdva 3000 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘((coe1𝑀)‘𝑘) = 0 )))
2719, 26mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘((coe1𝑀)‘𝑘) = 0 ))
284, 10, 27mptnn0fsupp 12659 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝑀)‘𝑘)) finSupp 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744   finSupp cfsupp 8158   < clt 9953  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374 This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  20434  cpmidpmatlem3  20496  chcoeffeqlem  20509
 Copyright terms: Public domain W3C validator