Theorem mpt2exga 7135

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpt2exga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2exga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpt2exg 7134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt2 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060

This theorem is referenced by:  el2mpt2csbcl  7137  bropopvvv  7142  bropfvvvv  7144  prdsip  15944  imasds  15996  setchomfval  16552  setccofval  16555  estrchomfval  16589  estrccofval  16592  lsmvalx  17877  mamuval  20011  mamudm  20013  marrepfval  20185  marrepval0  20186  marrepval  20187  marepvfval  20190  marepvval  20192  submaval0  20205  submaval  20206  maduval  20263  minmar1val0  20272  minmar1val  20273  mat2pmatval  20348  mat2pmatf  20352  m2cpmf  20366  cpm2mval  20374  decpmatval0  20388  decpmatmul  20396  pmatcollpw2lem  20401  pmatcollpw3lem  20407  mply1topmatval  20428  mp2pm2mplem1  20430  xkoptsub  21267  wlkon  26061  trlon  26070  pthon  26105  spthon  26112  is2wlkonot  26390  is2spthonot  26391  2wlkonot3v  26402  2spthonot3v  26403  grpodivfval  26772  pstmval  29266  sxsigon  29582  cndprobval  29822  mptmpt2opabbrd  40335  funcrngcsetc  41790  funcringcsetc  41827  lmod1lem1  42070  lmod1lem2  42071  lmod1lem3  42072  lmod1lem4  42073  lmod1lem5  42074