Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmon2 19314
 Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2.v · = ( ·𝑠𝑃)
mplmon2.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2.o 1 = (1r𝑅)
mplmon2.z 0 = (0g𝑅)
mplmon2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mplmon2.i (𝜑𝐼𝑊)
mplmon2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplmon2.k (𝜑𝐾𝐷)
mplmon2.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
mplmon2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾,𝑦   𝑦, 1   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   · (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2
StepHypRef Expression
1 mplmon2.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplmon2.v . . 3 · = ( ·𝑠𝑃)
3 mplmon2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5 eqid 2610 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 mplmon2.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7 mplmon2.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
8 mplmon2.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
9 mplmon2.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
10 mplmon2.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
11 mplmon2.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 mplmon2.k . . . 4 (𝜑𝐾𝐷)
131, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12mplmon 19284 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mplvsca 19268 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
15 ovex 6577 . . . . 5 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
166, 15rabex2 4742 . . . 4 𝐷 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
187adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
19 fvex 6113 . . . . . 6 (1r𝑅) ∈ V
209, 19eqeltri 2684 . . . . 5 1 ∈ V
21 fvex 6113 . . . . . 6 (0g𝑅) ∈ V
228, 21eqeltri 2684 . . . . 5 0 ∈ V
2320, 22ifex 4106 . . . 4 if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V
2423a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V)
25 fconstmpt 5085 . . . 4 (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦𝐷𝑋)
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦𝐷𝑋))
27 eqidd 2611 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
2817, 18, 24, 26, 27offval2 6812 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
29 oveq2 6557 . . . . 5 ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
3029eqeq1d 2612 . . . 4 ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
31 oveq2 6557 . . . . 5 ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
3231eqeq1d 2612 . . . 4 ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
333, 5, 9ringridm 18395 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = 𝑋)
3411, 7, 33syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = 𝑋)
35 iftrue 4042 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 𝑋)
3635eqcomd 2616 . . . . 5 (𝑦 = 𝐾𝑋 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
3734, 36sylan9eq 2664 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
383, 5, 8ringrz 18411 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3911, 7, 38syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = 0 )
40 iffalse 4045 . . . . . 6 𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 0 )
4140eqcomd 2616 . . . . 5 𝑦 = 𝐾0 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4239, 41sylan9eq 2664 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4330, 32, 37, 42ifbothda 4073 . . 3 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4443mpteq2dv 4673 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
4514, 28, 443eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  1rcur 18324  Ringcrg 18370   mPoly cmpl 19174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-psr 19177  df-mpl 19179 This theorem is referenced by:  mplascl  19317  mplmon2cl  19321  mplmon2mul  19322  mplcoe4  19324  coe1tm  19464
 Copyright terms: Public domain W3C validator