Theorem mirreu3 25349

Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirreu.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirreu.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirreu.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirreu.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirreu.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirreu.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirreu3	⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))

Distinct variable groups:   − ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐼,𝑏   𝑀,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem mirreu3

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirreu.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑃)
3		eqidd 2611	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴))
4		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 = 𝑀)
5		mirreu.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		mirreu.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		mirreu.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		mirreu.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	5, 6, 7, 9, 2, 2	tgbtwntriv2 25182	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
11	4, 10	eqeltrrd 2689	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
12		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴))
13	12	eqeq1d 2612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ↔ (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴)))
14		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐴))
15	14	eleq2d 2673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴)))
16	13, 15	anbi12d 743	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))))
17	16	rspcev 3282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
18	2, 3, 11, 17	syl12anc 1316	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
19	8	ad3antrrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20		mirreu.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
21	20	ad3antrrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ 𝑃)
22		simplrl 796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
23		simprll 798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴))
24		simpllr 795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 = 𝑀)
25	24	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝑀))
26	23, 25	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝑀))
27	5, 6, 7, 19, 21, 22, 21, 26	axtgcgrid 25162	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑏)
28		simplrr 797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
29		simprrl 800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴))
30	29, 25	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝑀))
31	5, 6, 7, 19, 21, 28, 21, 30	axtgcgrid 25162	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑐)
32	27, 31	eqtr3d 2646	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
33	32	ex 449	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) → ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
34	33	ralrimivva 2954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
35	18, 34	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
36	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑃)
38	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ 𝑃)
39	5, 6, 7, 36, 37, 38, 38, 37	axtgsegcon 25163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)))
40		ancom 465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)))
41	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
43	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑀 ∈ 𝑃)
44		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ 𝑃)
45	5, 6, 7, 41, 42, 43, 44	tgbtwncomb 25184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ↔ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
46	45	anbi2d 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
47	40, 46	syl5bb 271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
48	47	rexbidva 3031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
49	48	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
50	39, 49	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
51	8	ad3antrrr 762	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52	20	ad3antrrr 762	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ 𝑃)
53	1	ad3antrrr 762	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
54		simplrl 796	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
55		simplrr 797	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
56		simpllr 795	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 ≠ 𝑀)
57		simprlr 799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))
58	5, 6, 7, 51, 54, 52, 53, 57	tgbtwncom 25183	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏))
59		simprrr 801	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))
60	5, 6, 7, 51, 55, 52, 53, 59	tgbtwncom 25183	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
61		simprll 798	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴))
62		simprrl 800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴))
63	5, 6, 7, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62	tgsegconeq 25181	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
64	63	ex 449	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) → ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
65	64	ralrimivva 2954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
66	50, 65	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
67	35, 66	pm2.61dane 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
68		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝑐))
69	68	eqeq1d 2612	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ↔ (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴)))
70		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝑐𝐼𝐴))
71	70	eleq2d 2673	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))
72	69, 71	anbi12d 743	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))))
73	72	reu4 3367	. 2 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
74	67, 73	sylibr 223	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152

This theorem is referenced by:  mircgr  25352  mirbtwn  25353  ismir  25354  mirf  25355  mireq  25360