Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirmir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirmir 25357
 Description: The point inversion function is an involution. Theorem 7.7 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirmir.b (𝜑𝐵𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirmir (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem mirmir
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
9 mirmir.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircl 25356 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircgr 25352 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 (𝑀𝐵)) = (𝐴 𝐵))
1211eqcomd 2616 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐴 (𝑀𝐵)))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mirbtwn 25353 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
141, 2, 3, 6, 10, 7, 9, 13tgbtwncom 25183 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐼(𝑀𝐵)))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 9, 12, 14ismir 25354 . 2 (𝜑𝐵 = (𝑀‘(𝑀𝐵)))
1615eqcomd 2616 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  pInvGcmir 25347 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152  df-mir 25348 This theorem is referenced by:  mircom  25358  mirreu  25359  mireq  25360  mirne  25362  mirf1o  25364  mirbtwnb  25367  miduniq2  25382  ragcom  25393  ragmir  25395  colperpexlem1  25422  colperpexlem2  25423  opphllem2  25440  opphllem3  25441  opphllem4  25442  opphllem6  25444  opphl  25446  colhp  25462  sacgr  25522
 Copyright terms: Public domain W3C validator