Theorem mirbtwnb 25367

Description: Point inversion preserves betweenness. Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirbtwnb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirbtwnb	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))))

Proof of Theorem mirbtwnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		mirval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		miriso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		miriso.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		mirbtwnb.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
17		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
18	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17	mirbtwni 25366	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))
19	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	1, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10	mirf 25355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
22	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
23	21, 22	ffvelrnd 6268	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
24	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
25	21, 24	ffvelrnd 6268	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
26	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑃)
27	21, 26	ffvelrnd 6268	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
28		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10, 23, 25, 27, 28	mirbtwni 25366	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13	mirmir 25357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11	mirmir 25357	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15	mirmir 25357	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑍)) = 𝑍)
33	31, 32	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) = (𝑋𝐼𝑍))
34	30, 33	eleq12d 2682	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → ((𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
36	29, 35	mpbid 221	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
37	18, 36	impbida 873	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  pInvGcmir 25347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-mir 25348

This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  25375