Theorem minveclem4c 23004

Description: Lemma for minvec 23015. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minveclem4c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem4c

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.s	. 2 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2		minvec.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
3		minvec.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
4		minvec.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
5		minvec.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
6		minvec.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7		minvec.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
8		minvec.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		minvec.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10		minvec.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 23003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
12	11	simp1d 1066	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
13	11	simp2d 1067	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
14		0re 9919	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	11	simp3d 1068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
16		breq1 4586	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
17	16	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
18	17	rspcev 3282	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤)
19	14, 15, 18	sylancr 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤)
20		infrecl 10882	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21	12, 13, 19, 20	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	1, 21	syl5eqel 2692	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  TopOpenctopn 15905  -_gcsg 17247  LSubSpclss 18753  normcnm 22191  ℂPreHilccph 22774  CMetSpccms 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nlm 22201  df-cph 22776

This theorem is referenced by:  minveclem2  23005  minveclem3b  23007  minveclem4  23011