MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgm2nsgrplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgm2nsgrplem4 17231
Description: Lemma 4 for mgm2nsgrp 17232: M is not a semigroup. (Contributed by AV, 28-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
mgm2nsgrp.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐴), 𝐵, 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mgm2nsgrplem4 ((#‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ SGrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem mgm2nsgrplem4
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . . 4 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 13047 . . 3 ((#‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 simp1 1054 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝑆)
4 simp2 1055 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐵𝑆)
53, 3, 43jca 1235 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆))
62, 5syl 17 . 2 ((#‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆))
7 simp3 1056 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
8 mgm2nsgrp.b . . . . . 6 (Base‘𝑀) = 𝑆
9 mgm2nsgrp.o . . . . . 6 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐴), 𝐵, 𝐴))
10 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
111, 8, 9, 10mgm2nsgrplem2 17229 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
12113adant3 1074 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
131, 8, 9, 10mgm2nsgrplem3 17230 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)) = 𝐵)
14133adant3 1074 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)) = 𝐵)
157, 12, 143netr4d 2859 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)))
162, 15syl 17 . 2 ((#‘𝑆) = 2 → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)))
178eqcomi 2619 . . 3 𝑆 = (Base‘𝑀)
1817, 10isnsgrp 17111 . 2 ((𝐴𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆) → (((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)) → 𝑀 ∉ SGrp))
196, 16, 18sylc 63 1 ((#‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ SGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wnel 2781  ifcif 4036  {cpr 4127  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  2c2 10947  #chash 12979  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  SGrpcsgrp 17106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-sgrp 17107
This theorem is referenced by:  mgm2nsgrp  17232  mgmnsgrpex  17241
  Copyright terms: Public domain W3C validator