Theorem metss2lem 22126

Description: Lemma for metss2 22127. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metss2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
metss2lem	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem metss2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metss2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2	1	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		simplrl 796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
4		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
5		metcl 21947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7		simplrr 797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 11748	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		metss2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
10	9	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
11	6, 8, 10	ltmuldiv2d 11796	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12		metss2.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
13	12	anassrs 678	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
14	13	adantlrr 753	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
15		metss2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
17		metcl 21947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
18	16, 3, 4, 17	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
19	10	rpred 11748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
20	19, 6	remulcld 9949	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21		lelttr 10007	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
22	18, 20, 8, 21	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
23	14, 22	mpand 707	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
24	11, 23	sylbird 249	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
25	24	ss2rabdv 3646	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
26		metxmet 21949	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	1, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29		simprl 790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
30		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ+)
31		rpdivcl 11732	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
32	30, 9, 31	syl2anr 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
33	32	rpxrd 11749	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34		blval 22001	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
35	28, 29, 33, 34	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36		metxmet 21949	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	15, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
39		rpxr 11716	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ+ → 𝑆 ∈ ℝ*)
40	39	ad2antll 761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
41		blval 22001	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
42	38, 29, 40, 41	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
43	25, 35, 42	3sstr4d 3611	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   · cmul 9820  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℝ⁺crp 11708  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  ballcbl 19554  MetOpencmopn 19557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562

This theorem is referenced by:  metss2  22127  equivcfil  22905  equivcau  22906  equivtotbnd  32747