Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem met2ndc 22138
 Description: A metric space is second-countable iff it is separable (has a countable dense subset). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
met2ndc (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem met2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 𝐽 = 𝐽
212ndcsep 21072 . . 3 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐽(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝐽))
3 methaus.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopnuni 22056 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
54pweqd 4113 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝐽)
64eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋 ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝐽))
76anbi2d 736 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) ↔ (𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝐽)))
85, 7rexeqbidv 3130 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐽(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝐽)))
92, 8syl5ibr 235 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))
10 elpwi 4117 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
113met2ndci 22137 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)) → 𝐽 ∈ 2nd𝜔)
12113exp2 1277 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑥 ≼ ω → (((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋𝐽 ∈ 2nd𝜔))))
1312imp4a 612 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2nd𝜔)))
1410, 13syl5 33 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2nd𝜔)))
1514rexlimdv 3012 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2nd𝜔))
169, 15impbid 201 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  ∞Metcxmt 19552  MetOpencmopn 19557  clsccl 20632  2nd𝜔c2ndc 21051 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-2ndc 21053 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator