Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvunilem0 29603
Description: Lemma for measvuni 29604. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.0.1 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
measvunilem0 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1082 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
2 ctex 7856 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 measvunilem.0.1 . . . 4 𝑥𝐴
43esum0 29438 . . 3 (𝐴 ∈ V → Σ*𝑥𝐴0 = 0)
51, 2, 43syl 18 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴0 = 0)
6 nfv 1830 . . . 4 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
7 nfra1 2925 . . . 4 𝑥𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅}
8 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥
9 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥ω
103, 8, 9nfbr 4629 . . . . 5 𝑥 𝐴 ≼ ω
11 nfdisj1 4566 . . . . 5 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
1210, 11nfan 1816 . . . 4 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
136, 7, 12nf3an 1819 . . 3 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
14 eqidd 2611 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = 𝐴)
15 simp2 1055 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅})
1615r19.21bi 2916 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ {∅})
17 elsni 4142 . . . . . 6 (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 = ∅)
1918fveq2d 6107 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑀𝐵) = (𝑀‘∅))
20 measvnul 29596 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
21203ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∅) = 0)
2221adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
2319, 22eqtrd 2644 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑀𝐵) = 0)
2413, 14, 23esumeq12dvaf 29420 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑥𝐴0)
2513, 3, 3, 14, 18iuneq12daf 28756 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑥𝐴 ∅)
26 iun0 4512 . . . . 5 𝑥𝐴 ∅ = ∅
2725, 26syl6eq 2660 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵 = ∅)
2827fveq2d 6107 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀‘∅))
2928, 21eqtrd 2644 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = 0)
305, 24, 293eqtr4rd 2655 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wnfc 2738  wral 2896  Vcvv 3173  c0 3874  {csn 4125   ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583  cfv 5804  ωcom 6957  cdom 7839  0cc0 9815  Σ*cesum 29416  measurescmeas 29585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-cn 20841  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740  df-esum 29417  df-meas 29586
This theorem is referenced by:  measvuni  29604
  Copyright terms: Public domain W3C validator