Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiuninc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiuninc2 39375
 Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of non-decreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc2.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc2.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc2.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc2.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc2.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
meaiuninc2.x ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝐵)
meaiuninc2.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc2 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meaiuninc2.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiuninc2.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiuninc2.e . 2 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5 meaiuninc2.i . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
6 meaiuninc2.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 meaiuninc2.x . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝐵)
87ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝐵)
9 breq2 4587 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝐵))
109ralbidv 2969 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝐵))
1110rspcev 3282 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
126, 8, 11syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
13 meaiuninc2.s . 2 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
141, 2, 3, 4, 5, 12, 13meaiuninc 39374 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   ⇝ cli 14063  Meascmea 39342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-salg 39205  df-sumge0 39256  df-mea 39343 This theorem is referenced by:  meaiininclem  39376  vonioolem2  39572
 Copyright terms: Public domain W3C validator