Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiininc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiininc2 39378
 Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a non-increasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiininc2.f 𝑛𝜑
meaiininc2.p 𝑘𝜑
meaiininc2.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiininc2.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiininc2.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiininc2.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininc2.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
meaiininc2.k (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ)
meaiininc2.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiininc2 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem meaiininc2
StepHypRef Expression
1 meaiininc2.k . 2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ)
2 meaiininc2.p . . 3 𝑘𝜑
3 nfv 1830 . . 3 𝑘 𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
4 meaiininc2.f . . . . . 6 𝑛𝜑
5 nfv 1830 . . . . . 6 𝑛 𝑘𝑍
6 nfv 1830 . . . . . 6 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ
74, 5, 6nf3an 1819 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ)
8 meaiininc2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
983ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ Meas)
10 meaiininc2.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11103ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 meaiininc2.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑁)
13 meaiininc2.e . . . . . 6 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
14133ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
15 meaiininc2.i . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
16153ad2antl1 1216 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
17 id 22 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
1817, 12syl6eleq 2698 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
19183ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
20 simp3 1056 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ)
21 meaiininc2.s . . . . 5 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
227, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 20, 21meaiininc 39377 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
23223exp 1256 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 → ((𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ → 𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
242, 3, 23rexlimd 3008 . 2 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ∈ ℝ → 𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
251, 24mpd 15 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∩ ciin 4456   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   ⇝ cli 14063  Meascmea 39342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-salg 39205  df-sumge0 39256  df-mea 39343 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator