Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadif Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The measure of the difference of two sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meadif.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadif.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
meadif.r (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
meadif.b (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
Assertion
Ref Expression
meadif (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem meadif
StepHypRef Expression
1 meadif.s . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
2 undif 4001 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
31, 2sylib 207 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
43eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
54fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) = (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))))
6 meadif.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
7 eqid 2610 . . . 4 dom 𝑀 = dom 𝑀
8 meadif.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
96, 7dmmeasal 39345 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
10 meadif.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
11 saldifcl2 39222 . . . . 5 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑀𝐵 ∈ dom 𝑀) → (𝐴𝐵) ∈ dom 𝑀)
129, 10, 8, 11syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ dom 𝑀)
13 disjdif 3992 . . . . 5 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
15 meadif.r . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
166, 10, 15, 1, 8meassre 39370 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ)
17 difssd 3700 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
186, 10, 15, 17, 12meassre 39370 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
196, 7, 8, 12, 14, 16, 18meadjunre 39369 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))))
205, 19eqtr2d 2645 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴))
2116recnd 9947 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℂ)
2218recnd 9947 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
2315recnd 9947 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℂ)
2421, 22, 23addrsub 10327 . 2 (𝜑 → (((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵))))
2520, 24mpbid 221 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   + caddc 9818   − cmin 10145  SAlgcsalg 39204  Meascmea 39342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-salg 39205  df-sumge0 39256  df-mea 39343 This theorem is referenced by:  meaiininclem  39376
 Copyright terms: Public domain W3C validator