Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetlap1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetlap1 29220
 Description: A Laplace expansion of the determinant of a matrix, using the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetlap1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetlap1.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetlap1.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetlap1.k 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
mdetlap1.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetlap1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))))
Distinct variable groups:   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1055 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) → 𝑀𝐵)
2 mdetlap1.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetlap1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
42, 3matmpt2 29197 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5 eqid 2610 . . . . . 6 𝑁 = 𝑁
6 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
76eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐼 = 𝑖)
87oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝐼𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
9 eqidd 2611 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ ¬ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
108, 9ifeqda 4071 . . . . . . 7 (⊤ → if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
1110trud 1484 . . . . . 6 if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗)
125, 5, 11mpt2eq123i 6616 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗))
134, 12syl6eqr 2662 . . . 4 (𝑀𝐵𝑀 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))))
1413fveq2d 6107 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
151, 14syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) → (𝐷𝑀) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
16 mdetlap1.k . . 3 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
17 mdetlap1.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
18 mdetlap1.t . . 3 · = (.r𝑅)
19 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20 simp1 1054 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
21 simpl3 1059 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝐼𝑁)
22 simpr 476 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
231, 3syl6eleq 2698 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2423adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
252, 19matecl 20050 . . . 4 ((𝐼𝑁𝑗𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
2621, 22, 24, 25syl3anc 1318 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
27 simp3 1056 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
282, 16, 3, 17, 18, 19, 1, 20, 26, 27madugsum 20268 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
2915, 28eqtr4d 2647 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝐼𝑁) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾𝑀)𝐼)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   Σg cgsu 15924  CRingccrg 18371   Mat cmat 20032   maDet cmdat 20209   maAdju cmadu 20257 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685  df-psgn 17734  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033  df-mdet 20210  df-madu 20259 This theorem is referenced by:  mdetlap  29226
 Copyright terms: Public domain W3C validator