Theorem mdeg0 23634

Description: Degree of the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdeg0.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdeg0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdeg0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdeg0	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Proof of Theorem mdeg0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 18375	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		mdeg0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3	2	mplgrp 19271	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
4	1, 3	sylan2 490	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Grp)
5		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6		mdeg0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7	5, 6	grpidcl 17273	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑃))
8		mdeg0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
9		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		eqid 2610	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
11		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
12	8, 2, 5, 9, 10, 11	mdegval 23627	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘ 0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
13	4, 7, 12	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
14		simpl 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
16	2, 10, 9, 6, 14, 15	mpl0 19262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
17		fvex 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
18		fnconstg 6006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
20	16	fneq1d 5895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}))
21	19, 20	mpbird 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
22		ovex 6577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
23	22	rabex 4740	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝑅) ∈ V)
26		fnsuppeq0 7210	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})))
27	21, 24, 25, 26	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})))
28	16, 27	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅)
29	28	imaeq2d 5385	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅))
30		ima0 5400	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅) = ∅
31	29, 30	syl6eq 2660	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))) = ∅)
32	31	supeq1d 8235	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
33		xrsup0 12025	. . 3 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
34	32, 33	syl6eq 2660	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = -∞)
35	13, 34	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  supcsup 8229  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  0_gc0g 15923   Σ_g cgsu 15924  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370   mPoly cmpl 19174  ℂ_fldccnfld 19567   mDeg cmdg 23617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-ring 18372  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-mdeg 23619

This theorem is referenced by:  deg1z  23651