Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclsssvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mclsssvlem 30713
Description: Lemma for mclsssv 30715. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDV‘𝑇)
mclsval.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mclsval.c 𝐶 = (mCls‘𝑇)
mclsval.1 (𝜑𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (𝜑𝐾𝐷)
mclsval.3 (𝜑𝐵𝐸)
mclsval.h 𝐻 = (mVH‘𝑇)
mclsval.a 𝐴 = (mAx‘𝑇)
mclsval.s 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
mclsval.v 𝑉 = (mVars‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mclsssvlem (𝜑 {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} ⊆ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑜,𝑝,𝑠,𝐸   𝑥,𝑐,𝐻,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠   𝑦,𝑐,𝐵,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑥   𝐶,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑥   𝐴,𝑐,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠   𝑆,𝑐,𝑠,𝑥,𝑦   𝑇,𝑐,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑐,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑥,𝑦   𝑉,𝑐,𝑥   𝐾,𝑐,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦,𝑐)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝,𝑐)   𝑆(𝑚,𝑜,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem mclsssvlem
StepHypRef Expression
1 mclsval.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
2 mclsval.1 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ mFS)
3 eqid 2610 . . . . . . 7 (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
4 mclsval.e . . . . . . 7 𝐸 = (mEx‘𝑇)
5 mclsval.h . . . . . . 7 𝐻 = (mVH‘𝑇)
63, 4, 5mvhf 30709 . . . . . 6 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:(mVR‘𝑇)⟶𝐸)
72, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐻:(mVR‘𝑇)⟶𝐸)
8 frn 5966 . . . . 5 (𝐻:(mVR‘𝑇)⟶𝐸 → ran 𝐻𝐸)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐻𝐸)
101, 9unssd 3751 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝐸)
11 mclsval.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
1211, 4msubf 30683 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ran 𝑆𝑠:𝐸𝐸)
13 mclsval.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = (mAx‘𝑇)
14 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (mStat‘𝑇) = (mStat‘𝑇)
1513, 14maxsta 30705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ mFS → 𝐴 ⊆ (mStat‘𝑇))
162, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (mStat‘𝑇))
17 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (mPreSt‘𝑇) = (mPreSt‘𝑇)
1817, 14mstapst 30698 . . . . . . . . . . . 12 (mStat‘𝑇) ⊆ (mPreSt‘𝑇)
1916, 18syl6ss 3580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ (mPreSt‘𝑇))
2019sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴) → ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇))
21 mclsval.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (mDV‘𝑇)
2221, 4, 17elmpst 30687 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇) ↔ ((𝑚𝐷𝑚 = 𝑚) ∧ (𝑜𝐸𝑜 ∈ Fin) ∧ 𝑝𝐸))
2322simp3bi 1071 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇) → 𝑝𝐸)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴) → 𝑝𝐸)
25 ffvelrn 6265 . . . . . . . . 9 ((𝑠:𝐸𝐸𝑝𝐸) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)
2612, 24, 25syl2anr 494 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)
2726a1d 25 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) → (((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))
2827ralrimiva 2949 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴) → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))
2928ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))
3029alrimiv 1842 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))
3130alrimivv 1843 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))
32 fvex 6113 . . . . 5 (mEx‘𝑇) ∈ V
334, 32eqeltri 2684 . . . 4 𝐸 ∈ V
34 sseq2 3590 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 → ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ↔ (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝐸))
35 sseq2 3590 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐸 → ((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ↔ (𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸))
3635anbi1d 737 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 → (((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) ↔ ((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾))))
37 eleq2 2677 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 → ((𝑠𝑝) ∈ 𝑐 ↔ (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))
3836, 37imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐸 → ((((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐) ↔ (((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))
3938ralbidv 2969 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐸 → (∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))
4039imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐸 → ((⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)) ↔ (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))))
4140albidv 1836 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐸 → (∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)) ↔ ∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))))
42412albidv 1838 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 → (∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)) ↔ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))))
4334, 42anbi12d 743 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 → (((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐))) ↔ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))))
4433, 43elab 3319 . . 3 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} ↔ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))))
4510, 31, 44sylanbrc 695 . 2 (𝜑𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))})
46 intss1 4427 . 2 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} → {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} ⊆ 𝐸)
4745, 46syl 17 1 (𝜑 {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} ⊆ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wal 1473   = wceq 1475  wcel 1977  {cab 2596  wral 2896  Vcvv 3173  cun 3538  wss 3540  cotp 4133   cint 4410   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ccnv 5037  ran crn 5039  cima 5041  wf 5800  cfv 5804  Fincfn 7841  mVRcmvar 30612  mAxcmax 30616  mExcmex 30618  mDVcmdv 30619  mVarscmvrs 30620  mSubstcmsub 30622  mVHcmvh 30623  mPreStcmpst 30624  mStatcmsta 30626  mFScmfs 30627  mClscmcls 30628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-frmd 17209  df-mrex 30637  df-mex 30638  df-mrsub 30641  df-msub 30642  df-mvh 30643  df-mpst 30644  df-msr 30645  df-msta 30646  df-mfs 30647
This theorem is referenced by:  mclsval  30714  mclsssv  30715
  Copyright terms: Public domain W3C validator