Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfres2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres2cn 38850
 Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 23218 but here the theorem is extended to complex valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2cn.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfres2cn.b (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a (𝜑 → (𝐵𝐶) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfres2cn (𝜑𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2cn
StepHypRef Expression
1 ref 13700 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 mbfres2cn.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 fco 5971 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
41, 2, 3sylancr 694 . . 3 (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
5 resco 5556 . . . 4 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℜ ∘ (𝐹𝐵))
6 mbfres2cn.b . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ MblFn)
7 fresin 5986 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8 ismbfcn 23204 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ → ((𝐹𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)))
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)))
106, 9mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn))
1110simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
125, 11syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
13 resco 5556 . . . 4 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℜ ∘ (𝐹𝐶))
14 mbfres2cn.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ MblFn)
15 fresin 5986 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐶):(𝐴𝐶)⟶ℂ)
16 ismbfcn 23204 . . . . . . 7 ((𝐹𝐶):(𝐴𝐶)⟶ℂ → ((𝐹𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)))
172, 15, 163syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)))
1814, 17mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn))
1918simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)
2013, 19syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
21 mbfres2cn.a . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶) = 𝐴)
224, 12, 20, 21mbfres2 23218 . 2 (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23 imf 13701 . . . 4 ℑ:ℂ⟶ℝ
24 fco 5971 . . . 4 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
2523, 2, 24sylancr 694 . . 3 (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
26 resco 5556 . . . 4 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℑ ∘ (𝐹𝐵))
2710simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
2826, 27syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
29 resco 5556 . . . 4 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℑ ∘ (𝐹𝐶))
3018simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)
3129, 30syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
3225, 28, 31, 21mbfres2 23218 . 2 (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33 ismbfcn 23204 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
342, 33syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3522, 32, 34mpbir2and 959 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ℜcre 13685  ℑcim 13686  MblFncmbf 23189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194 This theorem is referenced by:  iblsplit  38858
 Copyright terms: Public domain W3C validator