Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfimaopn2 23230
 Description: The preimage of any set open in the subspace topology of the range of the function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
mbfimaopn2.2 𝐾 = (𝐽t 𝐵)
Assertion
Ref Expression
mbfimaopn2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐶𝐾) → (𝐹𝐶) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaopn2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn2.2 . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝐵)
21eleq2i 2680 . . . 4 (𝐶𝐾𝐶 ∈ (𝐽t 𝐵))
3 mbfimaopn.1 . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtop 22397 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
5 simp3 1056 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6 cnex 9896 . . . . . 6 ℂ ∈ V
7 ssexg 4732 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
85, 6, 7sylancl 693 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
9 elrest 15911 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐽 𝐶 = (𝑢𝐵)))
104, 8, 9sylancr 694 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐽 𝐶 = (𝑢𝐵)))
112, 10syl5bb 271 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶𝐾 ↔ ∃𝑢𝐽 𝐶 = (𝑢𝐵)))
12 simpl2 1058 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → 𝐹:𝐴𝐵)
13 ffun 5961 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
14 inpreima 6250 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑢𝐵)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝐵)))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹 “ (𝑢𝐵)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝐵)))
163mbfimaopn 23229 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹𝑢) ∈ dom vol)
17163ad2antl1 1216 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹𝑢) ∈ dom vol)
18 fimacnv 6255 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
19 fdm 5964 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2018, 19eqtr4d 2647 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = dom 𝐹)
2112, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹𝐵) = dom 𝐹)
22 simpl1 1057 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → 𝐹 ∈ MblFn)
23 mbfdm 23201 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2521, 24eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹𝐵) ∈ dom vol)
26 inmbl 23117 . . . . . . 7 (((𝐹𝑢) ∈ dom vol ∧ (𝐹𝐵) ∈ dom vol) → ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝐵)) ∈ dom vol)
2717, 25, 26syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝐵)) ∈ dom vol)
2815, 27eqeltrd 2688 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹 “ (𝑢𝐵)) ∈ dom vol)
29 imaeq2 5381 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑢𝐵) → (𝐹𝐶) = (𝐹 “ (𝑢𝐵)))
3029eleq1d 2672 . . . . 5 (𝐶 = (𝑢𝐵) → ((𝐹𝐶) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝑢𝐵)) ∈ dom vol))
3128, 30syl5ibrcom 236 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐶 = (𝑢𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ dom vol))
3231rexlimdva 3013 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑢𝐽 𝐶 = (𝑢𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ dom vol))
3311, 32sylbid 229 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶𝐾 → (𝐹𝐶) ∈ dom vol))
3433imp 444 1 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐶𝐾) → (𝐹𝐶) ∈ dom vol)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  Topctop 20517  volcvol 23039  MblFncmbf 23189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194 This theorem is referenced by:  cncombf  23231
 Copyright terms: Public domain W3C validator