Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfid 23209
 Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfid (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfid
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvresima 5541 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (( I “ 𝑥) ∩ 𝐴)
2 cnvi 5456 . . . . . . . 8 I = I
32imaeq1i 5382 . . . . . . 7 ( I “ 𝑥) = ( I “ 𝑥)
4 imai 5397 . . . . . . 7 ( I “ 𝑥) = 𝑥
53, 4eqtri 2632 . . . . . 6 ( I “ 𝑥) = 𝑥
65ineq1i 3772 . . . . 5 (( I “ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝑥𝐴)
71, 6eqtri 2632 . . . 4 (( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (𝑥𝐴)
8 ioof 12142 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9 ffn 5958 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
10 ovelrn 6708 . . . . . . 7 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧)))
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
12 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
13 ioombl 23140 . . . . . . . . 9 (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
1412, 13syl6eqel 2696 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
1514a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol))
1615rexlimivv 3018 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
1711, 16sylbi 206 . . . . 5 (𝑥 ∈ ran (,) → 𝑥 ∈ dom vol)
18 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
19 inmbl 23117 . . . . 5 ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
2017, 18, 19syl2anr 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
217, 20syl5eqel 2692 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
2221ralrimiva 2949 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
23 f1oi 6086 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
24 f1of 6050 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴
26 mblss 23106 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27 fss 5969 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴𝐴 ⊆ ℝ) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
2825, 26, 27sylancr 694 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
29 ismbf 23203 . . 3 (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
3028, 29syl 17 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
3122, 30mpbird 246 1 (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   I cid 4948   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952  (,)cioo 12046  volcvol 23039  MblFncmbf 23189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator