Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapprop 41917
 Description: An unordered pair containing two ordered pairs as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mapprop.f 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
Assertion
Ref Expression
mapprop (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem mapprop
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑅) → 𝑋𝑉)
2 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑌𝑉𝐵𝑅) → 𝑌𝑉)
31, 2anim12i 588 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
433adant3 1074 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
5 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑅) → 𝐴𝑅)
6 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑌𝑉𝐵𝑅) → 𝐵𝑅)
75, 6anim12i 588 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → (𝐴𝑅𝐵𝑅))
873adant3 1074 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝐴𝑅𝐵𝑅))
9 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑋𝑌𝑅𝑊) → 𝑋𝑌)
1093ad2ant3 1077 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝑋𝑌)
11 fprg 6327 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐴𝑅𝐵𝑅) ∧ 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
124, 8, 10, 11syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
13 mapprop.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
1413feq1i 5949 . . . 4 (𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
1512, 14sylibr 223 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
16 prssi 4293 . . . . 5 ((𝐴𝑅𝐵𝑅) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
177, 16syl 17 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
18173adant3 1074 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
1915, 18fssd 5970 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅)
20 simpr 476 . . . 4 ((𝑋𝑌𝑅𝑊) → 𝑅𝑊)
21203ad2ant3 1077 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝑅𝑊)
22 prex 4836 . . 3 {𝑋, 𝑌} ∈ V
23 elmapg 7757 . . 3 ((𝑅𝑊 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}) ↔ 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅))
2421, 22, 23sylancl 693 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}) ↔ 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅))
2519, 24mpbird 246 1 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746 This theorem is referenced by:  lincvalpr  42001  ldepspr  42056
 Copyright terms: Public domain W3C validator