Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom3 8017
 Description: Set exponentiation dominates the mantissa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapdom3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵))

Proof of Theorem mapdom3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3890 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐵)
2 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑚 {𝑥}) = (𝐴𝑚 {𝑥}))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
42, 3breq12d 4596 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝑚 {𝑥}) ≈ 𝑦 ↔ (𝐴𝑚 {𝑥}) ≈ 𝐴))
5 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
6 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
75, 6mapsnen 7920 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑚 {𝑥}) ≈ 𝑦
84, 7vtoclg 3239 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑚 {𝑥}) ≈ 𝐴)
983ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴𝑚 {𝑥}) ≈ 𝐴)
109ensymd 7893 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴𝑚 {𝑥}))
11 simp2 1055 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐵𝑊)
12 simp3 1056 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
1312snssd 4281 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
14 ssdomg 7887 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → ({𝑥} ⊆ 𝐵 → {𝑥} ≼ 𝐵))
1511, 13, 14sylc 63 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → {𝑥} ≼ 𝐵)
166snnz 4252 . . . . . . . 8 {𝑥} ≠ ∅
17 simpl 472 . . . . . . . . 9 (({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → {𝑥} = ∅)
1817necon3ai 2807 . . . . . . . 8 ({𝑥} ≠ ∅ → ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
1916, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
20 mapdom2 8016 . . . . . . 7 (({𝑥} ≼ 𝐵 ∧ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴𝑚 {𝑥}) ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
2115, 19, 20sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴𝑚 {𝑥}) ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
22 endomtr 7900 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ (𝐴𝑚 {𝑥}) ∧ (𝐴𝑚 {𝑥}) ≼ (𝐴𝑚 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
2310, 21, 22syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
24233expia 1259 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐵𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵)))
2524exlimdv 1848 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑥 𝑥𝐵𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵)))
261, 25syl5bi 231 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵)))
27263impia 1253 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843 This theorem is referenced by:  infmap2  8923
 Copyright terms: Public domain W3C validator