Theorem mapdom3 8017

Description: Set exponentiation dominates the mantissa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵))

Proof of Theorem mapdom3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3890	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
2		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ↑𝑚 {𝑥}) = (𝐴 ↑𝑚 {𝑥}))
3		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
4	2, 3	breq12d 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ↑𝑚 {𝑥}) ≈ 𝑦 ↔ (𝐴 ↑𝑚 {𝑥}) ≈ 𝐴))
5		vex 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		vex 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	5, 6	mapsnen 7920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ↑𝑚 {𝑥}) ≈ 𝑦
8	4, 7	vtoclg 3239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑𝑚 {𝑥}) ≈ 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 {𝑥}) ≈ 𝐴)
10	9	ensymd 7893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴 ↑𝑚 {𝑥}))
11		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
12		simp3 1056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	12	snssd 4281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
14		ssdomg 7887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝑥} ⊆ 𝐵 → {𝑥} ≼ 𝐵))
15	11, 13, 14	sylc 63	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ≼ 𝐵)
16	6	snnz 4252	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
17		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → {𝑥} = ∅)
18	17	necon3ai 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ≠ ∅ → ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
19	16, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
20		mapdom2 8016	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ≼ 𝐵 ∧ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴 ↑𝑚 {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵))
21	15, 19, 20	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵))
22		endomtr 7900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 ↑𝑚 {𝑥}) ∧ (𝐴 ↑𝑚 {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵))
23	10, 21, 22	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵))
24	23	3expia 1259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵)))
25	24	exlimdv 1848	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵)))
26	1, 25	syl5bi 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵)))
27	26	3impia 1253	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843

This theorem is referenced by:  infmap2  8923