Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8 36096
 Description: Part (8) in [Baer] p. 48. Given a reference vector 𝑋, the value of function 𝐼 at a vector 𝑇 is independent of the choice of auxiliary vectors 𝑌 and 𝑍. Unlike Baer's, our version does not require 𝑋, 𝑌, and 𝑍 to be independent, and also is defined for all 𝑌 and 𝑍 that are not colinear with 𝑋 or 𝑇. We do this to make the definition of Baer's sigma function more straightforward. (This part eliminates 𝑇 ≠ 0.) (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8h.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8h.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8i.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.xy (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8i.xz (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8i.yt (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8i.zt (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8.t (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdh8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh8
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝐶)
2 mapdh8a.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
3 mapdh8a.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
4 mapdh8i.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ V)
71, 2, 3, 4, 6mapdhval0 36032 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = 𝑄)
8 mapdh8i.z . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ V
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ V)
111, 2, 3, 8, 10mapdhval0 36032 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩) = 𝑄)
127, 11eqtr4d 2647 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
14 oteq3 4351 . . . . 5 (𝑇 = 0 → ⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩)
1514fveq2d 6107 . . . 4 (𝑇 = 0 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩))
1615adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩))
17 oteq3 4351 . . . . 5 (𝑇 = 0 → ⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩)
1817fveq2d 6107 . . . 4 (𝑇 = 0 → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
1918adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
2013, 16, 193eqtr4d 2654 . 2 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
21 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
22 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
23 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
24 mapdh8a.s . . 3 = (-g𝑈)
25 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
26 mapdh8a.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
27 mapdh8a.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
28 mapdh8a.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
29 mapdh8a.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
30 mapdh8a.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
31 mapdh8a.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3231adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
33 mapdh8h.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
3433adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝐹𝐷)
35 mapdh8h.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3635adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
37 mapdh8i.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3837adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
394adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
408adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41 mapdh8i.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
4241adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
43 mapdh8i.xz . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4443adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
45 mapdh8i.yt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4645adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
47 mapdh8i.zt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4847adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
49 mapdh8.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑉)
5049anim1i 590 . . . 4 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑇𝑉𝑇0 ))
51 eldifsn 4260 . . . 4 (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑇𝑉𝑇0 ))
5250, 51sylibr 223 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5321, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 30, 2, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 52mapdh8j 36095 . 2 ((𝜑𝑇0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
5420, 53pm2.61dane 2869 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ifcif 4036  {csn 4125  ⟨cotp 4133   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549  1st c1st 7057  2nd c2nd 7058  Basecbs 15695  0gc0g 15923  -gcsg 17247  LSpanclspn 18792  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  LCDualclcd 35893  mapdcmpd 35931 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655  df-djh 35702  df-lcdual 35894  df-mapd 35932 This theorem is referenced by:  mapdh9a  36097  mapdh9aOLDN  36098
 Copyright terms: Public domain W3C validator